ماتریس الحاقی

در جبر خطی، ماتریسِ الحاقیِ (به انگلیسی: Adjugate matrix or Adjunct matrix) یک ماتریسِ مربعی، ترانهادهٔ ماتریسِ همسازه‌هایِ آن ماتریس، است. ماتریسِ همسازه‌ها (به انگلیسی: matrix of cofactors or comatrix) به ماتریسی که شامل همه همسازه‌هایِ یک ماتریس می‌باشد، اطلاق می‌گردد. از ماتریسِ الحاقی برای محاسبهٔ ماتریس وارون استفاده می‌شود.

تعریف

فرض کنید $A$

ماتریسی مربعی باشد.

کِهادِ $i j$ امِ ماتریسِ $A$ ، عبارت است از دترمینانِ ماتریسِ مربعی‌ای که از حذف سطرِ $i$ ام و ستونِ $j$ امِ ماتریسِ $A$ بدست می‌آید و آنرا با $\mathbf {M} _{ij}$ نشان می دهیم.
همسازۀ $i j$ امِ ماتریسِ $A$ ، از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}.\,

حال، ماتریس الحاقیِ ماتریسِ $A$

، برابر است با ترانهادهٔ ماتریسِ $\mathbf {C}$ (ماتریسِ $\mathbf {C}$ همان ماتریسِ همسازه‌ها می‌باشد):

\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}.\,

مثال‌ها

ماتریس‌ ۲ × ۲

ماتریس الحاقی ماتریس ۲ × ۲

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}

برابر است با

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}.

ماتریس‌ ۳ × ۳

ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرید

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.

ماتریس الحاقی، ترانهادهٔ ماتریس همسازهٔ آن است، پس

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}.

بنابراین خواهیم داشت

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}

که

\left|{\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right).

خواص

ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد

\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} \,

\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,

\mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )

برای تمام ماتریس های مربعی A و B

منابع

Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". Linear Algebra and its Applications (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.

ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

راهنمای بدست آوردن ماتریس الحاقی