حدس کرامر

اگر ${\displaystyle p_n}$

${\displaystyle p_{n+1}-p_n=O((\log p_n{)}^2),}$

یا به‌عبارتی

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n{)}^2}=1,}$

در سال ۱۹۵۰، دنیل شانک فرضیه‌ای قوی‌تر از قضیهٔ کرامر را مطرح کرد. او این طور قضیهٔ کرامر را بررّسی کرد و بیان کرد اگر قضیه کرامر درست باشد، آن‌گاه:

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n{)}^2}=c,}$

with ${\displaystyle c=1.}$

او گفت: ممکن نیست ثابت c برای همهٔ اعداد اوّل اعمال شود، بنابراین او برای اعداد اوّل کوچک حدس زد:

${\displaystyle c\ge 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\dots }$

که در آن ${\displaystyle \gamma }$