قضیه نگاشت باز

در ریاضیات دو قضیه با نام «قضیه نگاشت باز» (به انگلیسی: Open mapping theorem) وجود دارد.

آنالیز تابعی

در آنالیز تابعی، قضیهٔ نگاشت باز که همچنین با نام قضیهٔ شوائر–باناخ شناخته شده‌است یک نتیجهٔ اصلی است که بیان می‌کند: اگر A: X → Y عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه A یک نگاشت باز است (اگر U یک مجموعه باز در X باشد، آنگاه A(U) یک مجموعه بازدر Y است).

برای اثبات از قضیهٔ رسته‌ای بئر استفاده می‌شود.

قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد:

اگر A: X → Y یک عملگر خطی پیوسته دوسو در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه عملگر وارون A: Y → X یک عملگر خطی پیوسته دوسو است.
اگر A: X → Y یک عملگر خطی در فضای باناخ X و Y باشد و اگر برای هر دنباله (x_n) در X با x_n → ۰ و Ax_n → y تابعیت می‌کند که y = ۰، آنگاه A پیوسته‌است (قضیه نمودار بسته).

آنالیز مختلط

در آنالیز مختلط قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که اگر U یک مجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط C باشد و f: U → C یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه f یک نگاشت باز است (زیر مجموعه‌های باز U را به زیرمجموعه‌های باز C می‌نگارد).

قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می‌کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی‌تواند یک قرص باز را به توی بخشی از یک خط بنگارد.

برهان

ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و U یک زیرمجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط است. اگر هر نقطه در $f(U)$

یک نقطهٔ داخلی

f(U)

باشد آنگاه

f(U)

باز است؛ بنابراین اگر هر نقطه در

f(U)

که محتوی یک دیسک است، شامل

f(U)

باشد آنگاه

f(U)

باز است.

اطراف هر نقطه در $U$

، یک گوی مناسب در

U

وجود دارد. یک

z_{0}

دلخواه در

U

و نقطهٔ تصویر آن

w_{0}=f(z_{0})

را در نظر بگیرید. اگر

f(z_{0})-w_{0}=0

آنگاه

z_{0}

یک ریشه تابع

f(z)-w_{0}

است. تابع

f(z)-w_{0}

ممکن است ریشه دیگری در فاصله

d_{1}

از

z_{0}

داشته باشد. فاصله از

z_{0}

تا یک نقطه که در U نیست نوشته می‌شود

d_{2}

. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم

d_{1}

و

d_{2}

داخل U خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا

d_{1},d_{2}>0

.

گوی $B_{2}$

را اطراف

w_{0}

با شعاع

e

و عناصر

w

در نظر می‌گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع

f(z)-w_{0}

و

f(z)-w

برای هر

w

با فاصله

e

از f(

z_{0}

)، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید

z_{1}

ریشه یا یکی از ریشه‌های

f(z)-w

باشد؛ بنابراین، برای هر

w

در

B_{2}

، یک

z_{1}

در

B

وجود دارد که

f(z_{1})=w

، تصویر

B_{2}

یک زیر مجموعه از تصویر

B

است که یک زیر مجموعه

f(U)

است. پس

w

یک نقطه درونی

f(U)

بای هر

w

دلخواه، و قضیه ثابت شده‌است.

قضیه نگاشت باز

فهرست

آنالیز تابعی

آنالیز مختلط

برهان

منابع