قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها

بنابراین قضیه اگر تابع f بر بازهٔ [a,b] پیوسته باشد آنگاه حداقل یک مقدار مانند c متعلق به بازه ی بسته ی [a,b]وجود دارد که : $f(c)=(1/(b-a))\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

اثبات

با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه [a,b] پیوسته است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق قضیه اکسترمم) در این فاصله می‌گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه [a,b] : $m\leq \ f(x)\leq \ M\Rightarrow \int _{a}^{b}m\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}M\,dx$

m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M(b-a)\Rightarrow \ m\leq \ (1/(b-a))\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M

حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه

x_{0}

و

x_{1}

در بازه

[a\leq \ x_{0}\leq \ x_{1}\leq \ b]

وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می‌شود. یعنی:

(1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{0}))(1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{1}))<\ 0

که بر طبق قضیه بولتزانو وجود دارد حداقل یک مقدار مانند c در بازهٔ

[x_{0},x_{1}]

که:

f(c)=(1/(b-a))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

منابع

حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد دوم )، نوشته مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384