قضیه تیلور

اگر تابع f در نقطه a مشتق پذیر باشد و آنگاه f دارای یک تقریب خطی درنقطه a است. این به این معنی است که h1 وجود دارد:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\qquad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.}$

که:

${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\ }$

میزان تقریب خطا:

${\displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).\ }$

که اگر بخواهیم هرچه بیشتر به نقطه a نزدیک شویم از چندجمله‌ای درجه دوم:

${\displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.\,}$

که میزان تقریب خطا:

${\displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2}\ }$

به همین ترتیب اگر از چندجمله‌ایهای درجه بالاتر استفاده کنیم بیشتر به نقطه a نزدیک می‌شویم.

تابع زیر یک تابع از درجه k از چندجمله‌ای تیلور در نقطه a است:

${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$

در این صورت fوجود دارد:

${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$

در این صورت برخورد مجانبی تابع خطا در نقطه a:

${\displaystyle \ R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$

برای عددی در این فاصله باز است.

اگر (G(t d یک تابع پیوسته در یک فاصله بسته باشد و همواره مشتق پذیر در یک فاصله باز بین a و x باشد:

${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}$

بسیاری اوقات تخمین تابع خطا مفیدتر از ایجاد یک فرم کلی برای آن است. فرض کنید f یک تابع k+1 بار در بازه I شامل نقطه a مشتق پذیر است. حال فرض کنید مقادیر حقیقی q و Q وجود داشته باشند که:

${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$

آنگاه تابع خطا در نامساوی:

${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U مشتق پذیر باشد، میتوان نوشت:

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {df(x)}{dx_{i}}}(h_{i})+R_{1}(h,x)}$

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U دارای مشتقات پیوسته تا مرتبه سوم باشد، میتوان نوشت:

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {df(x+th)}{dx_{i}}}(h_{i})+1/2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {df^{2}(x+th)}{dx_{i}dx_{j}}}+R_{2}(h,x).}$