قانون ذوزنقه

در آنالیز عددی، قانون ذوزنقه راهی برای محاسبهٔ تقریبی انتگرال معیّن است. قانون ذوزنقه از تقریب خطّی استفاده می‌کند. همان‌طور که در شکل می‌بینید بدین صورت است که می‌توان نمودار تابع را با تقریب خطی به یک سری ذوزنقه تبدیل کرد و سپس با محاسبهٔ مجموع مساحت‌های آن‌ها انتگرال تابع را به‌صورت حدّی به‌دست آورد.

نمودار تابع(رنگ آبی) با خط تقریب زده شده است

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right]

پیاده سازی عددی

تقسیم‌بندی سطح زیر نمودار با استفاده از تقریب خطی و ایجاد ذوزنقه

شبکهٔ یک‌نواخت

برای محاسبه انتگرال تابعی که یکنواخت است، یک $N$

در نظر گرفته و از بازهٔ کوچک‌تر شروع کرده و به‌اندازه

N

به بازهٔ اولیّه اضافه کرده تا به بازهٔ بزرگ‌تر برسیم که در واقع به این صورت می‌شود:

$a=x1<x2<...<xN+1=b$

و سپس، این $x$

ها ارتفاع ذوزنقه می‌شود و با قرار دادنِ

x

ها در تابع، قاعدهٔ کوچک و بزرگ را به‌دست می‌آوریم و با استفاده از فرمول مساحت ذوزنقه، مساحت ذوزنقه را به‌دست آورده و جمع کرده و در نتیجه انتگرال را به دست می‌آوریم.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k+1})+f(x_{k})\right)

{}={\frac {b-a}{2N}}(f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N})+f(x_{N+1})).

شبکهٔ غیر یک‌نواخت

برای شبکه‌هایی که غیر یک‌نواخت است. از فرمول زیر استفاده می‌شود.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(x_{k+1}-x_{k}\right)\left(f(x_{k+1})+f(x_{k})\right).

جستارهای وابسته

منابع

Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0.
Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule", Numerische Mathematik, 57 (1): 123–138, doi:10.1007/BF01386402, ISSN 0945-3245
Burden, Richard L. (2000), Numerical Analysis (7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-38216-9 .
Weideman, J. A. C. (January 2002), "Numerical Integration of Periodic Functions: A Few Examples", The American Mathematical Monthly, 109 (1): 21–36, doi:10.2307/2695765, JSTOR 2695765
Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, C.J. (2002), "Sharp Error Bounds for the Trapezoidal Rule and Simpson's Rule" (PDF), Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 3 (4)

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Trapezoidal rule». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.