قانون تقابل مربعی

قانون تقابل مربعی (به انگلیسی: Quadratic reciprocity)، قضیه‌ای است قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده‌است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می‌شود و استفاده از آن متوقف نگشته‌است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می‌دهیم.

قانون تقابل مربعی

مانده و نامانده

$\;p$

عددی اول و فرد و

\;a

عددی صحیح و نسبت به

\;p

اول است. اگر معادله همنهشتی

x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{  }}

جواب داشته باشد، آنگاه عدد

\;a

را به پیمانه

\;p

مانده و در غیر این صورت نامانده می‌گوییم.

مثال

$\;3$ به پیمانه $\;13$ مانده‌است زیرا $4^{2}\equiv 3{\pmod {13}}{\mbox{ }}$
همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.

چند قضیه مرتبط

مانده‌های به پیمانه عدد اول $\;p$ دقیقاً اعداد زیر اند

$1^{2},2^{2},3^{2},\cdots ,({\frac {p-1}{2}})^{2}$

برای هر $\;p$ اول، دقیقاً ${\frac {p-1}{2}}$ مانده متمایز به هنگ $\;p$ و به همین تعداد نامانده وجود دارد.

نماد لژاندر

اگر $\;p$

عددی اول و فرد و

\;a

عددی صحیح باشند که

\;(a,p)=1

تابع لژاندر با نماد

{\Biggl (}{\frac {a}{p}}{\Biggr )}

برابر است با

\;1

اگر

\;a

در مبنای

\;p

مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با

\;-1

. به عبارت دیگر:

{\Biggl (}{\frac {a}{p}}{\Biggr )}={\begin{cases}+1\quad \quad {\mbox{if   }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{  has a root}}\\-1\quad \quad {\mbox{if   }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{  has no root}}\end{cases}}

مثال

در همان مثال قبل می‌توان نوشت ${\Biggl (}{\frac {3}{13}}{\Biggr )}=1$

محک اویلر

اگر $\;p$

عددی اول و فرد و

\;a

عددی صحیح و نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم

{\Biggl (}{\frac {a}{p}}{\Biggr )}\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}

اثبات

طبق قضیه کوچک فرما می‌دانیم برای هر $\;x$

داریم

x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

. پس

0\equiv a^{p-1}-1=(a^{\frac {p-1}{2}}+1)(a^{\frac {p-1}{2}}-1)\Rightarrow a^{\frac {p-1}{2}}-1\equiv 0{\mbox{  or  }}a^{\frac {p-1}{2}}+1\equiv 0{\pmod {p}}

اگر $\;a$

مانده باشد، برای یک

\;x

ایی داریم

a\equiv x^{2}{\pmod {p}}

و این نتیجه می‌دهد

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

حال فرض کنید $\;g$

ریشه اولیه

\;p

باشد، پس

\;i

ای هست که داشته باشیم

a\equiv g^{i}{\pmod {p}}

. پس

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv g^{\frac {i\times (p-1)}{2}}

. اگر

\;a

نامانده باشد، آنگاه حتماً

\;i

فرد است و در نتیجه

{\frac {i\times (p-1)}{2}}

بر

p-1\;

بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن

\;g

نتیجه می‌دهد

g^{\frac {i\times (p-1)}{2}}\not \equiv 1{\pmod {p}}

یعنی

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}

قانون تقابل مربعی

اگر $\;p$

و

\;q

دو عدد اول، فرد و متمایز باشند آنگاه داریم:

${\Biggl (}{\frac {p}{q}}{\Biggr )}\times {\Biggl (}{\frac {q}{p}}{\Biggr )}=(-1)^{({\frac {p-1}{2}})({\frac {q-1}{2}})}$

دو پرانتز ظاهر شده در توان $\;-1$

نماد لژاندر نیستند.

منابع

کتاب نظریه اعداد، مریم میرزاخانی، رؤیا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی