حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 5 دقیقه
لینک کوتاه

فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی

در ادامه فهرستی از انتگرال (پادمشتق) تابع‌های لگاریتمی نوشته شده است؛ برای آگاهی از فهرستی کامل تر، صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

هشدار: در تمام رابطه‌ها، فرض بر این است که همواره x> ۰ است و ثابت انتگرال‌گیری برای ساده‌سازی حذف شده‌است.

∫ ln ⁡ a x d x = x ln ⁡ a x − x {\displaystyle \int \ln ax\;dx=x\ln ax-x}
∫ ln ⁡ ( a x + b ) d x = ( a x + b ) ln ⁡ ( a x + b ) − ( a x + b ) a {\displaystyle \int \ln(ax+b)\;dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-(ax+b)}{a}}}
∫ ( ln ⁡ x ) 2 d x = x ( ln ⁡ x ) 2 − 2 x ln ⁡ x + 2 x {\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}
∫ ( ln ⁡ x ) n d x = x ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k n ! k ! ( ln ⁡ x ) k {\displaystyle \int (\ln x)^{n}\;dx=x\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\frac {n!}{k!}}(\ln x)^{k}}
∫ d x ln ⁡ x = ln ⁡ | ln ⁡ x | + ln ⁡ x + ∑ k = 2 ∞ ( ln ⁡ x ) k k ⋅ k ! {\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}
∫ d x ( ln ⁡ x ) n = − x ( n − 1 ) ( ln ⁡ x ) n − 1 + 1 n − 1 ∫ d x ( ln ⁡ x ) n − 1 (for  n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ x m ln ⁡ x d x = x m + 1 ( ln ⁡ x m + 1 − 1 ( m + 1 ) 2 ) (for  m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫ x m ( ln ⁡ x ) n d x = x m + 1 ( ln ⁡ x ) n m + 1 − n m + 1 ∫ x m ( ln ⁡ x ) n − 1 d x (for  m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫ ( ln ⁡ x ) n d x x = ( ln ⁡ x ) n + 1 n + 1 (for  n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫ ln ⁡ x n d x x = ( ln ⁡ x n ) 2 2 n (for  n ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {\ln {x^{n}}\;dx}{x}}={\frac {(\ln {x^{n}})^{2}}{2n}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 0{\mbox{)}}}
∫ ln ⁡ x d x x m = − ln ⁡ x ( m − 1 ) x m − 1 − 1 ( m − 1 ) 2 x m − 1 (for  m ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫ ( ln ⁡ x ) n d x x m = − ( ln ⁡ x ) n ( m − 1 ) x m − 1 + n m − 1 ∫ ( ln ⁡ x ) n − 1 d x x m (for  m ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫ x m d x ( ln ⁡ x ) n = − x m + 1 ( n − 1 ) ( ln ⁡ x ) n − 1 + m + 1 n − 1 ∫ x m d x ( ln ⁡ x ) n − 1 (for  n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ d x x ln ⁡ x = ln ⁡ | ln ⁡ x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|}
∫ d x x n ln ⁡ x = ln ⁡ | ln ⁡ x | + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( n − 1 ) k ( ln ⁡ x ) k k ⋅ k ! {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}
∫ d x x ( ln ⁡ x ) n = − 1 ( n − 1 ) ( ln ⁡ x ) n − 1 (for  n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ ln ⁡ ( x 2 + a 2 ) d x = x ln ⁡ ( x 2 + a 2 ) − 2 x + 2 a tan − 1 ⁡ x a {\displaystyle \int \ln(x^{2}+a^{2})\;dx=x\ln(x^{2}+a^{2})-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}}
∫ x x 2 + a 2 ln ⁡ ( x 2 + a 2 ) d x = 1 4 ln 2 ⁡ ( x 2 + a 2 ) {\displaystyle \int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln(x^{2}+a^{2})\;dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})}
∫ sin ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = x 2 ( sin ⁡ ( ln ⁡ x ) − cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ) {\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}
∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = x 2 ( sin ⁡ ( ln ⁡ x ) + cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ) {\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}
∫ e x ( x ln ⁡ x − x − 1 x ) d x = e x ( x ln ⁡ x − x − ln ⁡ x ) {\displaystyle \int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\;dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)}
∫ 1 e x ( 1 x − ln ⁡ x ) d x = ln ⁡ x e x {\displaystyle \int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\;dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}}
∫ e x ( 1 ln ⁡ x − 1 x ln 2 ⁡ x ) d x = e x ln ⁡ x {\displaystyle \int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x\ln ^{2}x}}\right)\;dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}}

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of integrals of logarithmic functions». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۰ اوت ۲۰۱۱.

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.