فرایند تولد-مرگ

یک فرایند زاد-مرگ را یک فرایند تولد خالص می‌نامیم اگر در آن برای همهٔ ${\displaystyle i\ge 0}$

یک فرایند زاد-مرگ را یک فرایند مرگ خالص می‌نامیم اگر در آن برای همهٔ ${\displaystyle i\ge 0}$

فرایند پواسون (همگن) حالتی خاصی از فرایند زاد-مرگ خالص است که برای آن داشته باشیم ${\displaystyle {\lambda }_i=\lambda }$

مدل M/M/1 و مدل M/M/c که هر دو در تئوری صف استفاده شده‌اند، فرایند تولد مرگی هستند که برای توصیف مشتریان در صف نامحدود استفاده می‌شوند.

در تئوری صف فرایند تولد مرگ یکی از اساسی‌ترین مثال‌های مدل صف بندی M/M/C/K/${\displaystyle \mathrm{\infty }}$

صف M/M/1

M/M/1 یک صف سرویس‌رسانی منفرد از اندازه بافر بی‌نهایت است. در محیط غیر تصادفی، فرایند تولد مرگ در مدل صف بندی تمایل دارد که با میانگین بلند مدت باشد٬بنابراین نرخ میانگین ورودها به صورت ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\lambda }_i=\lambda \text{ and }{\mu }_i=\mu \text{ for all }i.}$

معادلهٔ تفاضلی برای این احتمال که سیستم در حالت k و در زمان t باشند به صورت زیر بیان می‌شود.

${\displaystyle p_0^{\mathrm{\prime }}(t)={\mu }_1{p}_1(t)-{\lambda }_0{p}_0(t)}$

${\displaystyle p_k^{\mathrm{\prime }}(t)={\lambda }_{k-1}{p}_{k-1}(t)+{\mu }_{k+1}{p}_{k+1}(t)-({\lambda }_k+{\mu }_k)p_k(t)}$

صف M/M/c

M/M/c چندین صف با C سرور و بافر نامحدود است. این حالت با M/M/1 تنها در زمان سرویس متفاوت است که اکنون به صورت زیر محاسبه خواهد شد.

${\displaystyle {\mu }_i=i\mu \text{ for }i\le C}$

و

${\displaystyle {\mu }_i=C\mu \text{ for }i\ge C}$

با

${\displaystyle {\lambda }_i=\lambda \text{ for all }i.}$

صف M/M/1/K

M/M/1/K یک صف سرور سرویس‌رسانی منفرد با بافری از اندازی K است. این صف در مخابرات و همچنین زیست‌شناسی هنگامی که محدودیتی بر روی ظرفیت داریم استفاده می‌شود. در مخابرات ما دوباره از پارامترهایی که از صف M/M/1 بدست می‌آیند٬به صورت استفاده می‌کنیم.

${\displaystyle {\lambda }_i=0\text{ for }i\ge K}$

${\displaystyle {\mu }_i=\mu \text{ for }1\le i\le K.}$

در زیست‌شناسی به خصوص در مبحث رشد باکتری‌ها زمانی که جمعیت صفر است هیچ توانایی برای رشد نیست بنابراین داریم

${\displaystyle {\lambda }_0=0.}$

علاوه بر این اگر ظرفیت نشان دهندهٔ محدودیت باشد مثلاً در جایی که جمعیت از جمعیت زیاد بمیرند داریم:

${\displaystyle {\mu }_K=0.}$

معادلات دیفرانسیل برای احتمال این که سیستم در حالت k در زمان t باشد به صورت زیر است:

${\displaystyle p_0^{\mathrm{\prime }}(t)={\mu }_1{p}_1(t)-{\lambda }_0{p}_0(t)}$

${\displaystyle p_k^{\mathrm{\prime }}(t)={\lambda }_{k-1}{p}_{k-1}(t)+{\mu }_{k+1}{p}_{k+1}(t)-({\lambda }_k+{\mu }_k)p_k(t)\text{ for }k\le K}$

${\displaystyle p_k^{\mathrm{\prime }}(t)=0\text{ for }k>K}$

یک صف گفته می‌شود که در تعادل است٬اگر حد ${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_k(t)}$

اگر صف M/M/1 را فرض بگیریم٬پاسخ حالت دائم (تعادل) به صورت زیر است:

${\displaystyle {\lambda }_0{p}_0(t)={\mu }_1{p}_1(t)}$

${\displaystyle ({\lambda }_k+{\mu }_k)p_k(t)={\lambda }_{k-1}{p}_{k-1}(t)+{\mu }_{k+1}{p}_{k+1}(t)}$

اگر برای همه ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lambda p_k(t)=\mu p_{k+1}(t)\text{ for}k\ge 0.}$

در یک زمان کوچک ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$

• تئوری صف
• مدل‌های صف