فرایند تحلیل سلسله‌مراتبی

فرض کنید n گزینه و m سنجه برای ارزیابی آن‌ها داشته باشیم. گام‌های این روش به شرح زیر است

• ۱- تعیین سنجه‌ها
• ۲- مقایسه زوجی هر دو رقیب (n*(n-۱)/۲ مقایسه) برای هر سنجه و تشکیل ماتریس n*n رقبا که درایه‌های آن اعدادی در فاصله‌ای مشخص اند و برتری نسبی یکی را بر دیگری بیان می‌کنند.

مثلاً: اگر طرح i از طرح j خیلی بهتر باشد به عنصر a_ij عدد ۵ نسبت می‌دهیم پس: ۵/۱=a_ij

• ۳- بدست آوردن وزن هر رقیب برای این سنجه (یعنی یک بردار ۱xn) که این کار با انجام یک سری عملیات سطری- ستونی بر روی ماتریس گام قبل واستفاده از روش ویژه-بردار یا eigenvector انجام می‌شود و برداری بدست می‌آید که جمع عناصر آن یک و مقدار عنصر iام آن وزن رقیب iام را برای این سنجه نشان می‌دهد.
• ۴-گام‌های ۱ تا ۳ را برای تمام سنجه‌ها انجام دهید تا در نهایت m بردار n تایی بدست آید و با در کنار هم گذاردن آن‌ها یک ماتریس mxn تشکیل شود.
• ۵- مقایسه جفت جفت خود سنجه‌ها و بدست آوردن وزن هر یک از آن‌ها از روی ماتریس سنجه‌ها که برتری سنجه‌ها را نسبت به هم نشان می‌دهد (یک بردار ۱xm)

1. ضرب بردار وزن سنجه‌ها در ماتریس mxn و در نهایت بدست آوردن وزن نهایی هر رقیب
2. آزمون سازگاری برای نبود تناقض در تخصیص اعداد برتری طرح‌ها در مقایسه با سنجه‌ها

مسئله دیگری که در همین زمینه مطرح می‌شود AHP گروهی است که در آن گروهی از افراد نظرات خود را ارائه می‌کنند و در سیستم‌های خبره نیز کاربرد دارد.

تقریباً تمامی محاسبات مربوط به فرایند تحلیل سلسله مراتبی بر اساس قضاوت اولیه تصمیم گیرنده که در قالب ماتریس مقایسات زوجی ظاهر می‌شود، صورت می‌پذیرد و هر گونه خطا و ناسازگاری در مقایسه و تعیین اهمیت بین گزینه‌ها و شاخص‌ها نتیجه نهایی به دست آمده از محاسبات را مخدوش می‌سازد. نرخ ناسازگاری که در ادامه با نحوه محاسبه آن آشنا خواهیم شد، وسیله‌ای است که سازگاری را مشخص ساخته و نشان می‌دهد که تا چه حد می‌توان به اولویتهای حاصل از مقایسات اعتماد کرد. برای مثال اگر گزینه A نسبت به B مهمتر (ارزش ترجیحی ۵) و B نسبتاً مهمتر (ارزش ترجیحی ۳) باشد، آنگاه باید انتظار داشت A نسبت به C خیلی مهمتر (ارزش ترجیحی ۷ یا بیشتر) ارزیابی گردد یا اگر ارزش ترجیحی A نسبت به B، ۲ و B نسبت به C، ۳ باشد آنگاه ارزش A نسبت به C باید ارزش ترجیحی ۴ را ارائه کند. شاید مقایسه دو گزینه امری ساده باشد، اما وقتیکه تعداد مقایسات افزایش یابد اطمینان از سازگاری مقایسات به راحتی میسر نبوده و باید با به‌کارگیری نرخ سازگاری به این اعتماد دست یافت. تجربه نشان داده‌است که اگر نرخ ناسازگاری کمتر از ۱۰/۰ باشد سازگاری مقایسات قابل قبول بوده و در غیر اینصورت مقایسه‌ها باید تجدید نظر شود. قدم‌های زیر برای محاسبه نرخ ناسازگاری به کار گرفته می‌شود:

گام ۱. محاسبه بردار مجموع وزنی: ماتریس مقایسات زوجی را در بردار ستونی «وزن نسبی» ضرب کنید بردار جدیدی را که به این طریق بدست می‌آورید، بردار مجموع وزنی بنامید.

گام ۲. محاسبه بردار سازگاری: عناصر بردار مجموع وزنی را بر بردار اولویت نسبی تقسیم کنید. بردار حاصل بردار سازگاری نامیده می‌شود.

گام ۳. بدست آوردن Lmax، میانگین عناصر برداری سازگاری Lmax را به دست می‌دهد.

گام ۴. محاسبه شاخص سازگاری: شاخص سازگاری به صورت زیر تعریف می‌شود: CI=(Lmax-n)/(n-1)

که n عبارتست از تعداد معیارهای موجود در مسئله

گام ۵. محاسبه نسبت سازگاری: نسبت سازگاری از تقسیم شاخص سازگاری برشاخص تصادفی بدست می‌آید. CR=CI/RI

نسبت سازگاری ۰٫۱ یا کمتر سازگاری در مقایسات را بیان می‌کند.

شاخص تصادفی از جدول زیر استخراج می‌شود.

جدول۱: شاخص سازگاری تصادفی (RI)

نرم‌افزارهای این روش به دو نرم‌افزار اکسپرت چویس (Expert Choice) و سوپر دسیژن (SUPER DECISION) تقسیم می‌شوند نرم‌افزار اول تنها برای حل مدل‌های سلسله مراتبی استفاده می‌شود اما نرم‌افزار دوم نیز هم برای سلسله مراتبی و هم برای تحلیل شبکه ای استفاده می‌شود.[۱][۲]

حال که طرح سلسله مراتبي (درخت تصميم) را طراحي نموديد، همه چيز مهياست تا طبق آن نسبت به طراحي پرسشنامه اقدام نماييد.

پرسشنامه مورد استفاده براي تحليل‌هاي سلسه‌مراتبي و تصميم‌گيري چندمعياره به پرسشنامه خبره موسوم است. پرسشنامه خبره خيلي چيز پيچيده‌اي نيست بلکه دقت و داشتن الگوي مناسب را طلب مي‌کند. براي تهيه پرسشنامه خبره از مقايسه زوجي گزينه‌ها استفاده مي‌شود و مي بايست هيچ مقايسه زوجي از قلم نيفتد و گرنه هنگام انجام تحليل به دردسر بزرگي دچار خواهيد شد و دوباره کاري خواهيد داشت. براي امتياز دهي از مقياس نه درجه ساعاتی به صورت زير استفاده مي‌شود:

مقیاس امتیاز دهی 9 درجه ای

با استفاده از اين مقياس اعضاي شوراي شهر هر يک از گزينه‌ها (کانديداهاي شهردار شدن) را بر اساس هر يک از عوامل به صورت زوجي مقايسه مي‌کنند. نتايج اين مقايسه به صورت زير است.

سطح اول سلسله‌ مراتب را معيارهاي اصلي تشکيل مي‌دهد. پرسشنامه خبره نخست با مقايسه زوجي معيارهاي اصلي بر اساس هدف به تعيين اولويت هر يک از معيارها اصلي مي‌پردازد. بنابراين بايد معيارها را براساس هدف دو به‌ دو با هم مقايسه مي‌کنيم. براي مثال شوراي شهر تصميم و ارزيابي زير را مي‌گيرد:

همانطور که ملاحظه مي شود در ماتريس مقايسات زوجي، اعداد بخش پايين ماتريس معکوس اعداد بخش بالاي ماتريس هستند.

توجه نماييد که پيش فرض روش ahp اعلام نظر يک خبره است. اگر چند خبره پاسخگويي کرده اند و مي خواهيد اطلاعات آنرا در نرم افزار expert choice وارد کنيد، اين صفحه سايت را مطالعه نماييد: ورود داده هاي چند پرسشنامه  ahp.

محاسبه وزن های نرمال

اکزل و ساعاتی (1983) استفاده از ميانگين هندسي را بهترين روش براي ترکيب مقايسات زوجي معرفي کرده‌اند. بنابراين از داده‌هاي هر سطر ميانگين هندسي بگيريد. وزن‌هاي بدست آمده نرمال نيستند.

منظور از وزن نرمال آن است که جمع اوزان برابر ۱ باشد. بنابراين ميانگين هندسي بدست آمده در هر سطر را بر مجموع عناصر ستون ميانگين هندسي تقسيم کنيد. ستون جديد که حاوي وزن نرمال شده هر معيار است را بردار ويژه يا Eigenvalue گويند. وزن نهائي هر ماتريس همان ستون بردار ويژه است. (حاصل محاسبات در جدول فوق درج شده است، با ستونی به نام : اوزان نرمال شده)

بر اساس جدول بالا معيار تجربه از بيشترين اولويت برخوردار است. تعهد در اولويت دوم قرار دارد. تحصيلات مرتبط از کمترين اولويت برخوردار است. جدول نهايي مقايسات معيارها به قرار زير است (توجه کنید که این جدول رتبه بندی شده جدول فوق است بر اساس اوزان نرمال):

توجه داشته باشيد که هر معيار ممکن است خود از يک مجموعه زير معيار تشکيل شده باشد. در اينصورت يک سطح ديگر به مدل AHP اضافه مي‌شود.

نرخ ناسازگاري در روش ای اچ پی

متذکر مي شود که براي هر جدول مقايسات زوجي مي بايست نرخ ناسازگاري را محاسبه کنيد که البته شيوه محاسبه آن پيچيده است و از حوصله اين مقاله خارج است. برای اطلاعات بیشتر در خصوص نرخ ناسازگاری این صفحه را ببینید: نرخ ناسازگاری در ای اچ پی

نرخ ناسازگاري جدول مقايسات بالا برابر 0.081 مي باشد که چون کمتر از 0.1 است قابل قبول مي باشد.

پس از تعيين وزن هر يک از معيارها در گام بعد بايد گزينه‌ها (کانديداها) بصورت زوجي بر اساس هر معيار مقايسه شوند. براي مثال مقايسه زوجي گزينه‌ها بر اساس تعهد نشان داده است :

آقاي احمدي در مقايسه با خانم موسوي امتياز 3 مي‌گيرد اما امتيازي برابر با آقاي رسولي دارد. همچنين آقاي رسولي در مقايسه با خانم موسوي امتياز 6 کسب مي‌کند. بعد از اينکه مقايسه ها انجام شد داده‌ها را به ماتريسي مانند زير منتقل مي‌کنند که همان ماتريس مقايسه‌ زوجي است:

تعیین اولویت گزینه ها

گام بعدي تعيين اولويت است. براي تعيين اولويت از مفهوم نرمال سازي (Normalization) که در گام قبلي توضيح داده شد استفاده مي‌شود. پس از نرمال کردن وزن هر گزينه بر اساس معيار مورد نظر بدست خواهد آمد.

با توجه به پيچيدگي بايد از نرم افزار Expert Choice يا اينکه از اکسل کمک گرفت

راه حل ديگر استفاده از نرم افزار Super Decision است که بيشتر براي ANP مناسب است.

به مقادير بدست آمده حاصل از محاسبات که ستون اولويت را تشکيل مي‌دهند بردار ويژه (eigenvector) گويند.

همين مقايسه‌هاي زوجي را براي ساير معيارها انجام مي‌دهيم. به اين ترتيب اولويت هر فرد را براساس هر معيار مانند فوق محاسبه مي‌کنيم. مهم همان ستون اولويت‌ها است. در نهايت به ماتريسي مانند زير خواهيد رسيد:

اکنون به سادگي با استفاده از ميانگين موزون شهردار را انتخاب مي‌کنيم.

امتياز هر گزينه = مجموع حاصلضرب اولويت آن گزينه بر اساس معيار i ضربدر اولويت آن معيار

محاسبه اولويت نهايي آفاي احمدي به قرار زير است:

(0.40 * 0.36) + (0.48 * 0.50) + (0.17 * 0.14)   = 0.408

به همين ترتيب آقاي رسولي  0.440 امتياز کسب کرد و خانم موسوي نيز 0.154 امتياز بدست آورد.

• • «Analytic hierarchy process»، ویکی‌پدیا انگلیسی