زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
ضرب هادامار (انگلیسی : Hadamard product ضرب درایهای ریاضیات ، عمل دوتایی است که دو ماتریس با ابعاد یکسان را گرفته و ماتریس دیگری تولید میکند که هر درایهٔ
i
j
{\displaystyle ij}
i
j
{\displaystyle ij}
حاصلضرب رایجتر ماتریسها اشتباه گرفت. این ضرب به افتخار ریاضیدان فرانسوی ژاک آدامار ، یا ریاضیدان آلمانی ایسای شور نامگذاری شدهاست.
تعریف
برای دو ماتریس
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
∘
B
{\displaystyle A\circ B}
A
⊙
B
{\displaystyle A\odot B}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
(
A
∘
B
)
i
j
=
(
A
⊙
B
)
i
j
=
(
A
)
i
j
(
B
)
i
j
.
{\displaystyle (A\circ B)_{ij}=(A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}
برا ماتریسهایی که ابعاد متفاوت دارند این ضرب تعریف نشدهاست.
مثال
برای دو ماتریس
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
∘
[
b
11
b
12
b
13
b
21
b
22
b
23
b
31
b
32
b
33
]
=
[
a
11
b
11
a
12
b
12
a
13
b
13
a
21
b
21
a
22
b
22
a
23
b
23
a
31
b
31
a
32
b
32
a
33
b
33
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32}&a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}}.}
ویژگیها
اگر
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
رتبه ضرب هادامار از ضرب رتبههای دو ماتریس بیشتر نیست:
rank
(
A
∘
B
)
≤
rank
(
A
)
rank
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\leq \operatorname {rank} (\mathbf {A} )\operatorname {rank} (\mathbf {B} )}
اگر
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
k
{\displaystyle k}
عدد حقیقی باشید آنگاه:
A
∘
B
=
B
∘
A
,
A
∘
(
B
∘
C
)
=
(
A
∘
B
)
∘
C
,
A
∘
(
B
+
C
)
=
A
∘
B
+
A
∘
C
,
(
k
A
)
∘
B
=
A
∘
(
k
B
)
=
k
(
A
∘
B
)
,
A
∘
0
=
0
∘
A
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\mathbf {B} \circ \mathbf {A} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\circ \mathbf {C} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \circ \mathbf {B} +\mathbf {A} \circ \mathbf {C} ,\\&\left(k\mathbf {A} \right)\circ \mathbf {B} =\mathbf {A} \circ \left(k\mathbf {B} \right)=k\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} \right),\\&\mathbf {A} \circ \mathbf {0} =\mathbf {0} \circ \mathbf {A} =\mathbf {0} .\end{aligned}}}
برای بردارهای
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
D
x
{\displaystyle D_{x}}
D
y
{\displaystyle D_{y}}
x
∗
(
A
∘
B
)
y
=
t
r
(
D
x
∗
A
D
y
B
T
)
,
{\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\mathbf {y} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {D} _{\mathbf {x} }^{*}\mathbf {A} \mathbf {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right),}
∑
i
(
A
∘
B
)
i
j
=
(
B
T
A
)
j
j
=
(
A
B
T
)
i
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i}(A\circ B)_{ij}&=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)_{jj}\\&=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)_{ii}.\end{aligned}}}
(
y
x
∗
)
∘
A
=
D
y
A
D
x
∗
{\displaystyle \left(\mathbf {y} \mathbf {x} ^{*}\right)\circ \mathbf {A} =\mathbf {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {A} \mathbf {D} _{\mathbf {x} }^{*}}
برای مقادیر ویژه ماتریسهای
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
λ
i
(
A
)
{\displaystyle \lambda _{i}(A)}
i
{\displaystyle i}
A
{\displaystyle A}
∏
i
=
k
n
λ
i
(
A
∘
B
)
≥
∏
i
=
k
n
λ
i
(
A
B
)
,
k
=
1
,
…
,
n
,
{\displaystyle \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\geq \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(\mathbf {A} \mathbf {B} ),\quad k=1,\ldots ,n,}
منابع
↑ "Comprehensive List of Algebra Symbols" . Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06 .↑ Million, Elizabeth (April 12, 2007). "The Hadamard Product" (PDF) . buzzard.ups.edu . Retrieved September 6, 2020 . {{}}: نگهداری CS1: url-status (link )↑ "Comprehensive List of Algebra Symbols" . Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06 .↑ "Hadamard product - Machine Learning Glossary" . machinelearning.wtf .↑ "linear algebra - What does a dot in a circle mean?" . Mathematics Stack Exchange .↑ "Element-wise (or pointwise) operations notation?" . Mathematics Stack Exchange .↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix analysis . Cambridge University Press. ↑ Hiai, Fumio; Lin, Minghua (February 2017). "On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product". Linear Algebra and Its Applications . 515 : 313–320. doi :10.1016/j.laa.2016.11.017 .
