شرایط کاروش–کون–تاکر

مسئله بهینه‌سازی غیرخطی به شکل زیر را در نظر بگیرید:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {minimize} \quad &f(x)\\\mathrm {subject\ to} \quad &g_{i}(x)\leq 0;\quad i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\\&h_{j}(x)=0;\quad j\in \left\{1,\dots ,\ell \right\}\end{aligned}}}$

mtfc

شرایط KKT در حقیقت شرایط لازم برای برقراری دوگانی مؤکد در مسائل دوگان هست. در مسائل محدب شرایط KKT شرایط لازم و کافی برای دوگانی مؤکد هست.

KKT در مسائل بهینه‌سازی محدب دارای چهار شرط زیر است:

۱-مسئله اولیه شدنی باشد

${\displaystyle g_{i}(x^{*})\leq 0,{\text{ for }}i=1,\ldots ,m}$

${\displaystyle h_{j}(x^{*})=0,{\text{ for }}j=1,\ldots ,\ell \,\!}$

۲-مسئله دوگان شدنی باشد

${\displaystyle \mu _{i}\geq 0,{\text{ for }}i=1,\ldots ,m}$

۳-شرط Complementary slackness برقرار باشد

${\displaystyle \mu _{i}g_{i}(x^{*})=0,{\text{ for }}\;i=1,\ldots ,m.}$

۴-شرط ایستا برقرار باشد

${\displaystyle -\nabla f(x^{*})=\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}\nabla g_{i}(x^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\lambda _{j}\nabla h_{j}(x^{*}),}$

یک x,λ,μ در چهار رابطه فوق به دست می‌آید، که این مقادیر پاسخ‌های بهینه مسئله اولیه و دوگان هستند.