رونسکین

در ریاضیات، رونسکین، دترمینانی است که به اسم ریاضیدان لهستانی ژوزف هونه رونسکی نام‌گذاری شده است و در معادلات دیفرانسیل و برای تعیین استقلال خطی چند تابع به کار می‌رود.

تعریف

برای $n$

تابع

f_{1}(x),\ f_{2}(x),\cdots ,\ f_{n}(x)

که دارای مشتق تا مرتبه $n-1$ روی بازهٔ $I$ هستند ، رونسکین (به انگلیسی: Wronskian determinant) آن‌ها با نماد

W[a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\cdots ,\ a_{n}]

را به صورت تابعی از

x\in I

تعریف می کنیم که برابر با حاصل دترمینان ماتریس زیر است:

W[f_{1},\ldots ,f_{n}](x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}

در صورت ناصفر بودن مقدار رونسکین در بازه $I$

، توابع

f_{1}(x),\ f_{2}(x),\cdots ,\ f_{n}(x)

در آن بازه مستقل خطی هستند.

اشتباه رایج آن است که $W = 0$ در یک بازه به معنای وابستگی خطی است. در حالی که جوزپه پینو در سال ۱۸۸۹ با اشاره به دو تابع $x$ و $| x | x$ نشان داد که رونکسین این دو تابع در همه نقاط برابر صفر است اما در هیچ همسایگی ۰ وابسته خطی یکدیگر نیستند.

منابع

↑ Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition). به کوشش William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Wronskian». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲ اکتبر ۲۰۱۳.

[:02-1] Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition). به کوشش William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade.