روش بارهای تصویر

قضیه یکتایی بیان می‌کند که پاسخی از معادله لاپلاس که در شرایط مرزی صدق می‌کند، تنها پاسخی از این نوع است که وجود دارد.واین پاسخ به‌طور یکتا با شرایط مرزی تعیین می‌شود. برای بهتر روشن شدن مطلب، حلقه بسته ای را که یک ناحیه و سطح روی آن را مشخص می‌کند در نظر بگیریم.اگر داشته باشیم:

درون ناحیه${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\phi =f}$

بیان دیگری از قضیه یکتایی به این صورت است که::دو پاسخ معادله لاپلاس که در شرایط مرزی یکسانی صدق کنند، یا با هم برابرند یا اختلافشان حداکثر یک عدد ثابت است.

مثال ساده ای برای روش بارهای تصویری همان مسئله بار نقطه ای در نزدیکی صفحه رساناست. بار نقطه ای q را به فاصله a از صفحه رسانای نامتناهی متصل به زمین در نظر بگیرید. می خواهیم بدانیم پتانسیل در بالای صفحه چقدر است. به علت القای بار الکتریکی توسط q روی صفحه، پتانسیل تنها پتانسیل ناشی از بار نقطه ای نخواهد بود. شرایط مرزی از این قرارند: در z=0 داریم ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle V\left(\rho ,\phi ,z\right)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\left(\frac{q}{\sqrt{{\rho }^2+{\left(z-a\right)}^2}}+\frac{-q}{\sqrt{{\rho }^2+{\left(z+a\right)}^2}}\right)}$

که در z=0 و برای نقاط دور مقدار این پتانسیل صفر خواهد بود که این دقیقاً همان شرایط مرزی مورد نظر ماست. پس پیکر بندی جدید برای z>0 دارای پتانسیل پیکربندی نخست است.

چگالی بار سطحی روی سطح رسانا از رابطه

${\displaystyle \sigma =-{ϵ}_0\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }z}{|}_{z=0}}$

${\displaystyle \sigma =-{ϵ}_0\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }z}{|}_{z=0}=\frac{-qa}{2\pi {\left(x^2+a^2\right)}^{3/2}}}$

در می آید.

حالا کل بار القایی روی سطح انتگرال تابع${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle x^2+y^2={\rho }^2}$

${\displaystyle Q_t}$	${\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sigma \left(\rho \right)\rho d\rho d\theta }$
	${\displaystyle =\frac{-qa}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\rho d\rho }{{\left({\rho }^2+a^2\right)}^{3/2}}}$
	${\displaystyle =-q}$

که پاسخی است که انتظارش را داشتیم. میدان حاصل از این بار نقطه ای در نزدیکی صفحه رسانا را در تصویر ش 1 می‌بینید.

تعمیم

روش بارهای تصویری را می‌توان به حضور 2 یا تعداد بیشتری بار نقطه ای در نزدیکی رسانا تعمیم داد.که در این صورت صفحه با تصویر همه بارها جایگزین می‌شود.از آنجا که پتانسیل الکتروستاتیکی کل همان جمع نرده ای پتانسیل هاست، پس پتانسیل هر بار نقطه ای در محل صفحه با پتانسیل تصویرش خنثی می‌شود.ازین رو پتانسیل هر جایی در محل صفحه صفر خواهد بود، که همان شرایط مرزی مسئله ماست. در صورت وجود دو قطبی الکتریکی در فاصله a از صفحه، باید صفحه را با یک دو قطبی معکوس و متقارن واقع در a- جایگزین کنید.

مسئله ای را در نظر بگیرید که در آن بار نقطه ای q در داخل کره رسانای متصل به زمین به شعاع R قرار دارد(ان بار در شکل با رنگ سبز نشان داده شده‌است).می خواهیم پتانسیل داخل کره را طور بدست بیاوریم که پتانسیل هر جایی روی کره صفر شود. دستگاه مختصات را به این صورت در نظر می‌گیریم که مبدأ مختصات در مرکز کره و بار q در فاصله p از مبدأ روی محور z قرار دارد.می خواهیم پتانسیل را در داخل کره در نقطه ای به فاصله r از مبدأ روی محور r بیابیم.شرط مرزی موجود این است که پتانسیل در ${\displaystyle |\mathbf{r}|=R}$

${\displaystyle \phi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\left[\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{p}|}+\frac{q^{\mathrm{\prime }}}{|\mathbf{r}-\mathbf{z}|}\right]}$

می خواهیم در${\displaystyle |\mathbf{r}|=R}$

${\displaystyle \phi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\left[\frac{q}{|r\hat{\mathbf{r}}-p\hat{\mathbf{z}}|}+\frac{q^{\mathrm{\prime }}}{|r\hat{\mathbf{r}}-z\hat{\mathbf{z}}|}\right]}$

در جمله اول در مخرج ازp و در جمله دوم از r فاکتور می‌گیریم و پتانسیل را درr=R مساوی صفر قرار می‌دهیم.

${\displaystyle \phi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\left[\frac{q}{p|\frac{R}{p}\hat{\mathbf{r}}-\hat{\mathbf{z}}|}+\frac{q^{\mathrm{\prime }}}{R|\hat{\mathbf{r}}-\frac{z}{R}\hat{\mathbf{z}}|}\right]=0}$

که می‌دهد:

${\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{-q^{\mathrm{\prime }}}{R}}$

یا

${\displaystyle q^{\mathrm{\prime }}=\frac{-R}{p}q}$

برای اینکه پتانسیل سطح کره به جای صفر هر ثابت دیگری مثل V باشد کافیست بار نقطه ای دیگری را در مر کز کره قرار دهیم.

حال می خواهیم بدانیم پتانسیل در نقاط خارج کره به چه صورت است. برای چگالی بارهای سطحی در مختصات قطبی کروی داریم:

${\displaystyle \sigma (\theta )={ϵ}_0\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }r}{|}_{r=R}}$

که با انتگرال‌گیری روی سطح کره می‌دهد:

Q=-q

که همان بار القایی روی سطح داخلی کره است.

• جکسون، جان دیوید.الکترودینامیک کلاسیک.ویرایش سوم 1998.تهران:گروه تخصصی آراکس.
• ریتس، میلفورد.مبانی نظری الکترو مغناطیس.ویرایش چهارم1388.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• ویکی‌پدیای انگلیسی.