روش اجزاء محدود

روش اجزاء محدود یا روش المان محدود (به انگلیسی: Finite Element Method) که به اختصار FEM نامیده می‌شود، رایج ترین روش عددی برای حل مسائل مهندسی و مدل‌های ریاضیاتی است. رایج‌ترین این مسائل شامل تحلیل سازه‌ها، انتقال گرما، دینامیک شاره‌ها، انتقال جرم و پتانسیل الکترومغناطیسی می‌شود. روش المان محدود، روشی عددی برای حل معادلات دیفرانسیلی جزئی تعریف شده بر اساس یک یا دو متغیر مکانی است. در این روش، برای حل مسئله یک سیستم بزرگ به قسمت‌های کوچک‌تر و ساده‌تر به نام المان‌های محدود تقسیم می‌شود. این گسسته سازی مکانی مستلزم تعریف جسم یا محیط مسئله بصورت یک شبکه یا در اصطلاح مش است. در واقع شبکه از مجموعه‌ای از نقاط گسسته برای تبدیل جسم یا محیط مسئله به محدوده‌ی عددی برای حل مسئله است. فرمول‌بندی روش المان محدود در ادامه به سیستمی از معادلات جبری تبدیل می‌شود که بیانگر تقریبی از یک تابع مجهول بر روی هر المان است. سپس معادلات ساده‌ای که هر یک از این المان‌ها را مدلسازی می‌کنند، در قالب یک سیستم بزرگتر از معادلات که کل محدوده‌ی مسئله را در بر می‌گیرد، سرهم‌بندی‌ می‌شوند. در نهایت با استفاده از حساب تغییرات جوابی برای مسئله با به حداقل رساندن یک تابع خطا یافته می‌شود. کاربرد عملی اجزای محدود معمولاً با نام تحلیل اجزا محدود (به انگلیسی: Finite Element Analysis) یا به اختصار FEA خوانده می‌شود.

اصول مقدماتی

تقسیم محدوده ی حل به اجزای ساده تر چندین مزیت دارد:

بیان دقیق هندسه‌های پیچیده
قابلیت درنظرگرفتن مواد با ویژگی‌های متفاوت
بیان ساده‌ی جواب کلی مسئله
قابلیت در نظر گرفتن ویژگی‌های محلی جواب

اساس کار این روش حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده‌سازی آن‌ها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روش‌های عددی مانند اویلر حل می‌شوند، می‌باشد. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله ساده‌ای که از نظر عددی پایداراست -به این معنا که خطا در داده‌های اولیه و در حین حل به حدی نباشد که به نتایج نامفهوم منتهی شود- برسیم. روشهایی با مزایا و معایب مختلف برای این امر وجود دارد، که روش اجزاء محدود یکی از بهترین آنهاست. این روش درحل معادلات دیفرانسیل جزئی روی دامنه‌های پیچیده (مانند وسایل نقلیه و لوله‌های انتقال نفت)، یا هنگامی که دامنه متغیر است، یا وقتی که دقت بالا در همه جای دامنه الزامی نیست یا اگر نتایج همبستگی و یکنواختی کافی را ندارند، بسیار مفید می‌باشد. به عنوان مثال در شبیه‌سازی یک تصادف در قسمت جلوی خودرو، نیازی به دقت بالای نتایج در عقب خودرو نیست. همچنین در شبیه‌سازی و پیش‌بینی هوا روی کره زمین، هوای روی خشکی اهمیت بیشتری نسبت به هوای روی دریا دارد. تقسیم ناحیه به نواحی کوچکتر دارای مزایای زیادی است از جمله: نمایش دقیق هندسه پیچیده، گنجایش ویژگی‌های متفاوت جسم، درک ویژگی‌های موضعی جسم.

تاریخچه

پیدایش روش اجزاء محدود به حل مسائل پیچیدهٔ کشسانی (الاستیسیته) و تحلیل سازه‌ها در مهندسی مکانیک و عمران برمیگردد. این روش حاصل کار الکساندر هرنیکوف (۱۹۴۱) و ریچارد کورانت (۱۹۴۲) می‌باشد. با این که روش کار این دو دانشمند کاملاً متفاوت بود، اما یک ویژگی مشترک داشت: تقسیم یک دامنهٔ پیوسته (ماده) به یک سری زیردامنه (قطعات کوچکتر ماده) به نام المان (اجزاء).

نرم‌افزارهای FEM

آباکوس (Abaqus)
انسیس (Ansys)
اپنسیس (OpenSees)
نسترن (Nastran)
کامسول (Comsol)
ماکسول (Maxwell) (در زمینه الکترومغناطیس)
پلکسیس (PLAXIS)
دایانا (DIANA)
اف ای ام ام (FEMM) (شبیه ساز دوبعدی تحت زبان lua)

جستارهای وابسته

منابع

رویه‌های اجزاء محدود

Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

پیوند به بیرون

NAFEMS—انجمن بین‌المللی برای جامعهٔ تحلیل مهندسی
منابع تحلیل اجزا محدود- نکته‌ها، مقاله‌ها و اخبارها از اجزا محدود
روش‌های اجزا محدود برای الکترومغناطیس - متن ۳۲۰ صفحه‌ای رایگان
کتاب‌های اجزا محدود- کتابشناسی
متمتیکا در روش‌های اجزا محدود
روش‌های اجزا محدود برای معادلات دیفرانسیل جزئی - نوشته‌ها توسط اندره سولی

↑ Daryl L. Logan (2011). A first course in the finite element method. Cengage Learning. ISBN 978-0495668251.
↑ Reddy, J. N. (2006). An Introduction to the Finite Element Method (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780071267618.

[1] Daryl L. Logan (2011). A first course in the finite element method. Cengage Learning. ISBN 978-0495668251.

[2] Reddy, J. N. (2006). An Introduction to the Finite Element Method (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780071267618.