دنباله لوکاس

ادوارد لوکاس دانشمند فرانسوی سده نوزدهم اولین نفری بود که دنباله عددی زیر را به فیبوناتچی نسبت داد که دنباله لوکاس (Lucas sequence) نامیده شده‌است.

${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,....}$

با این حال ساده‌ترین دنباله دیگر که جمله عمومی آن با جمله عمومی دنباله فیبوناتچی برابر است و تفاوت در دو عدد اول این دنبالهاست، دنباله لوکاس نام دارد که به صورت رشته عددی زیر است:

${\displaystyle 1,3,4,7,11,18,29,47,...}$

و یا به عبارتی:

${\displaystyle L_{1}=1,L_{2}=3,L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n},n\epsilon N}$

این دنباله نزدیک‌ترین دنباله به دنباله فیبوناتچی است.

نکته: دنباله لوکاس را به صورت زیر روی Z تعمیم می‌دهیم:

${\displaystyle L_{1}=1,L_{2}=3{\begin{cases}L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}&n\epsilon N\\L_{n}=L_{n+2}-L_{n+1}&n\epsilon z-N\end{cases}}}$

آنگاه ${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}}$