حذف سور
حذف سور (به انگلیسی: Quantifier elimination) یکی از ویژگیهای «جبری» مورد بررسی در منطق ریاضی (در نظریهٔ مدلها) است. تئوریِ
مصداقِ ملموسی از حذف سور،
فرمول تعیینکنندهٔ ریشه داشتن یا نداشتن یک معادلهٔ درجهٔ ۲ در اعداد حقیقی است:
حذف سور به دلایل گوناگون اهمیت دارد که برخی از آنها را در ادامه ذکر کردهایم. نخست، برای این که مطالعهٔ مجموعههای تعریفشدنی را آسانتر میکند: اگر تئوری
تعریف
تئوریِ
با به روشهای مقدماتی منطقی، فرمول بدون سورِ
معادلاً تئوری
نیز
تئوریِ
مثالها
داشتن حذف سور، تنها در یک «زبان معقول» حائزِ اهمیت است. این زبان عموماً بهینهترین زبانی است که ویژگیهای جبری یک تئوری را بتواند بیان کند. اگر جز این بخواهد باشد، هر تئوریای با اضافه کردن محمول برای هر فرمول دارای سور به زبان، دارای حذف سور میشود. به بیان واضحتر اگر برای هر فرمولِ
اعداد طبیعی و حساب پئانو
ساختارِ بهظاهرسادهٔ
حساب پِرِسْبِرگِر
برخلافِ حسابِ پئانو، «حسابِ پِرِسْبِرگِر» دارای حذف سور است. حساب پرسبرگر، به بیان ساده حسابی است که
از تئوریِ کاملِ ساختار
میدانهای بستهٔ حقیقی
تئوریِ کاملِ ساختارِ
بنا به حذف سور، اصلبندی زیر برای میدانهای بستهٔ جبری، «کامل» است و از این رو
میدانهای بستهجبری دقیقاً مدلهای
تئوریِ کاملِ ساختارِ
- اصولی که بیان کند کهمیدانی مرتب است.
- مجموعهای از اصول که بیان کنند که چندجملهایهای با درجهٔ فرد دارای ریشهاند.
- اصلی که بگوید که مجموع مربعات نیست.
- اصلی که بیان کند که خودِ هر عنصر یا قرینهٔ آن مجذور عنصر دیگری است.
مجموعههای تعریف شدنی با فرمولهای بدون سور در
میدانهای بستهٔ جبری، دقیقاً «مجموعههای شبهجبری» هستند. یعنی آنهایی که به گونهٔ زیر تعریف شوند:
از دیگر نتیجههای حذف سور برای میدانهای بستهٔ جبری، این است که این میدانها «کمینهٔ ترتیبی» هستند (اُمینیمال). یعنی مجموعههای تعریف شدنی با یک متغیر در آنها، اجتماعی متناهی از نقطهها و بازههای باز هستند (و از این رو بنا به قضیهٔ تقسیم سلولی، مجموعههای تعریف شدنی در ابعاد بزرگتر، اجتماعی متناهی از سلولها هستند). ترتیبکمینگی
این ساختار، ارتباط سودمندی میان نظریهٔ مدل و تویولوژی برقرار میکند.
میدانِ ترتیبیِ اعداد حقیقی به همراه جرم توابع تحلیلیِ حقیقی
تئوری میدان بستهٔ حقیقی
در نتیجهٔ حذف سور به راحتی میتوان نشان داد که ساختار یادشده، کمینهٔ ترتیبی است.
نیز اهمیت دیگر حذف سور در این ساختار این است، که اثباتی نظریهٔ مدلی برای قضیهٔ هندسیِ
«گابْرییِلُف» فراهم میآورد. بنا بر قضیهٔ گابرییلف، مکمل هر مجموعهٔ زیرْتحلیلی در
میدانهای بستهٔ جبری
تئوری کاملِ ساختار
حذف سور در میدانهای بستهٔ جبری نیز نتایج جبری خوشایندی به دست میدهد. در واقع حذف سور در این میدانها معادل
قضیهٔ «شُوالی» است که میگوید «تصویر هر مجموعهٔ ساختهشدنی تحت یک نگاشت چندجملهای
مجموعهای ساختهشدنی است». مجموعههای ساختهشدنی در میدانهای بستهٔ جبری، ترکیبات بولی متناهیِ
مجموعههای بستهٔ زاریسکی هستند. به بیان دیگر، آنها مجموعههای «تعریفشدنی»
با فرمولهای بدون سور
در
یک میدان بستهٔ جبریند. طبیعی است که تصویر آنها تحت نگاشتهای چندجملهای، دوباره تعریف شدنی، و بنا به حذف سور،
بدونسورتعریفشدنی، و از این رو ساختهشدنی است.
نیز حذف سور (در واقع مدلکاملی نتیجهشونده از آن) اثبات آسانی برای قضیهٔ ریشههای هیلبرت (نولاِشتِلِنْسَتز) فراهم میآورد.
بنا به این قضیه،
در میدانهای بستهٔ جبری، مجموعههای بستهٔ زاریسکی در تناظر یکبهیکند با
ایدهآلهای رادیکال در حلقهٔ چندجملهایهای متناظر.
نتیجهٔ دیگرِ حذف سور در میدانهای بستهٔ جبری، این است که آنها بسیارکمینه هستند. یعنی اگر
میدان ترتیبی اعداد حقیقی به همراه تابعِ نمایی نامحدود
تئوریِ
ساختارِ
زوجهای چگال از میدانهای بستهٔ حقیقی
فرض کنید
تئوری یادشده، ترتیب کمینه نیست ولی همچنان از لحاظ توپولوژیک خوشرفتار است: هر مجموعهٔ باز از
میدانهای ارزیابی
تئوری
میدانهای ارزیابیِ بستهٔ جبریِ
که در آن مشخصهٔ میدانِ اصلی و میدانِ خارجقسمتی تبیین شدهاست،
در زبانِ به دست آمده از اجتماع زبان میدانها با
محمول دوظرفیتیِ
در حالت کلیتر، میدانهای ارزیابیِ (نه لزوماً بستهٔ جبری) هنسلیِ دارای مؤلفهٔ زاویهای،
به گونهٔ
حذف سور تبعات خوشایند زیادی نیز برای میدانهای ارزیابی دارد. برای مثال، تئوری میدانهای بستهٔ جبریِ
با مشخصهٔ مشخص، سیکمینال (سیمینیمال) است. یعنی مجموعههای تعریف شدنی در آن ساختاری درختمانند دارند.
نیز در میدانهای ارزیابیِ بستهٔ جبری، گروه ارزیابیها
و میدان خارجقسمتی، هر یک «ثابتْنشانده» هستند. یعنی
زیرمجموعههایی از آنها را که در کل ساختار تعریفشدنی باشند میتوان در خودِ ساختار گروه، یا در خودِ ساختارِ
میدان و بدون کمکگیری از بقیهٔ زبان تعریف کرد. این نکته دربارهٔ میدانهای ارزیابیِ هنسلی دارای مشخصهٔ
خارجقسمتیِ
صفر و دارای مؤلفهٔ موضعی نیز درست است.
روشهای معمول برای بررسی حذفسور
پیدا کردن معادل بدون سور به روش مستقیم و با دستکاری فرمولها، برای یک فرمول پیچیدهٔ دارای سور همواره عملیترین راه آزمودن حذف سور نمیتواند باشد، به ویژه وقتی که زبان دارای چندین بخش است و فرمولها بسیار پیجیدهاند. عموماً حذف سور را با کمک گرفتن از «محکهای جبری» زیر میآزمایند.
روش اول
تئوری
روش دوم، راژمانهای رفت و برگشتی
همانگونه که در تعریف حذف سور اشاره شد، برای این که یک تئوری حذف سور بپذیرد، باید تایپهای کامل عناصر را تایپهای بدون سور آنها به دست بدهند.
فرض کنید
هرگاه یک «راژمان رفت و برگشتی» از
ایزومرفیسمهای میان زیرساختارهای
به بیان دقیقتر، موارد زیر با هم معادلند:
- تئوری دارای حذف سور است،
- تایپهای کامل در تئوریِ را تایپهای بدون سور کاملاً تعیین میکنند،
- هرگاه ودو مدلِ بهاندازهاشباع و هماندازهاشباع ازباشند وو، آنگاه اگر ساختار تولید شده بوسیلهٔدربا ساختار تولید شده توسطدرایزومرف باشد، این ایزومرفیسم را میتوان یک نگاشت مقدماتی میانِوگستراند.
- هرگاه ودو مدلِ-اشباع ازباشند وو، آنگاه اگر ساختار تولید شده بوسیلهٔدربا ساختار تولید شده توسطدرایزومرف باشد، برای هربتوانرا پیدا کرد که ساختار تولید شده بوسیلهٔدربا ساختار تولید شده توسطدرایزومرف باشد. نیز برای هربتوانرا چنان یافت که ساختار تولید شده توسطدربا ساختار تولید شده توسطدرایزومرف باشد. توجه کنید که این فراروندِ رفت و برگشتی، نامتناهی است یعنی برای هرهرگاهآنگاه برای هردرعنصری مانندپیدا شود که، و نیز برای هردرعنصری مانندپیدا شود که،
- هرگاه ودو مدل بهاندازه و هماندازه اشباع ازباشند وایزومرفیسمی میان دو ساختار متناهیاً تولید شده از آندو، آنگاهدر یک راژمان رفت و برگشتی واقع شود. یعنی مجموعهای چوناز ایزومرفیسمهایی میان زیرساختارهایی (نه لزوماًهمهٔزیرساختارها) ازوداشته باشیم کهرا در برداشته باشد و نیز دارای این ویژگی باشد که هرگاهوآنگاه نگاشتی چونداشته باشیم کهرا بگستراند ودر دامنهاش باشد. نیز هرگاهوآنگاه نگاشتی چونداشته باشیم کهرا بگستراند ودر بُردش باشد.
روش سوم
- برای هر یک مدلِپیدا شود کهرا دربردارد و برای هرکهرا دربرداشته باشد،دربنشیند و نگاشت نشاندنِدررویهمانی باشد.
- برای هر مدلِ ازو هر عنصرِساختار تولید شده به وسیلهٔرا بتوان در یک گسترش مقدماتی ازنشاند به گونهای این نگاشت نشاندن رویاین تابع همانی باشد.
روش چهارم
اگر تئوریِ
- دارای مدل اولیهٔ جبری باشد. یعنی برای هرمدلی مانندو نشاندنی مانندیافت شوند به گونهای که برای هر مدلِو هر نشاندنِنشاندنی چونپیدا شود که.
- هرگاه و، برای هر فرمولِ بدون سورِو هراگرآنگاه.
روش پنجم
موارد زیر با هم معادلند (تعاریف در ادامه آمدهاست).
- تئوریِ دارای حذف سور است.
- تئوریِ مدلکامل است و تئوری(همهٔ نتیجههای با سور عمومی از)دارای ویژگی پیوندی است.
مفاهیم نزدیک به حذف سور
کامل بودن
تئوریِ
هرگاه
اگر
همانگونه که در تعریف گفتیم، تئوریِ
مدلْکامل بودن
بسیاری از تئوریها کامل نیستند
ولی
ویژگیای را نزدیک به کاملبودن
دارا هستند که آن را «مدلکامل» بودن میخوانند.
تئوریِ
از آنجا که «تایپ» مفهومی مقدماتی است (یعنی هر تایپ در یک گسترش مقدماتی برآورده میشود)
به مدلکامل بودن یک تئوری برای بررسی تایپهای آن در مدل هیولا نیاز است.
اگر
همپای مدلی
برای بررسی راحتترِ
ویژگیهای تئوریهای ناکامل، میتوان «همپای مدلی» آنها را در صورت وجود بررسی کرد که مدلْکامل است.
تئوریِ
تئوریِ
مُکمّلِ مدلی
اگر
نیز
ویژگی پیوندی
تئوریِ
ویژگی پیوندی با حذف سور رابطهٔ نزدیکی دارد. نخست توجه کنید که «پیوند» در حالت مقدماتی همیشه ممکن است؛ یعنی
اگر
در واقع موارد زیر با هم معادلند:
- تئوریِدارای حذف سور است.
- تئوریِمدلکامل است و تئوری(همهٔ نتیجههای با سور عمومی از) دارای ویژگی پیوندی است.
منابع
- ↑ Model Theory: An Introduction, Marker, D. url={https://books.google.de/books?id=vTIVswEACAAJ}, 2014, Springer
- ↑ Model Theory, Hodges, W. ,Encyclopedia of Mathematics and its Applications}, url={https://books.google.de/books?id=Rf6GWut4D30C},1993,Cambridge University Press
- ↑ A Course in Model Theory, Tent, K. and Ziegler, M. , seriesLecture Notes in Logic, url={https://books.google.de/books?id=D9sClsdErEsC}, 2012, Cambridge University Press
- ↑ Wilkie, Alex J. "Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function." Journal of the American Mathematical Society 9.4 (1996): 1051-1094.
- ↑ Van Den Dries, Lou. "Dense pairs of o-minimal structures." Fundamenta Mathematicae 157.1 (1998): 61-78.
- ↑ Van Den Dries, Lou. "The field of reals with a predicate for the powers of two." Manuscripta Mathematica 54.1 (1985): 187-195.
- ↑ Pas, Johan. "Uniform p-adic cell decomposition and local zeta functions." J. reine angew. Math 399 (1989): 137-172.
- ↑ Denef, Jan, and Lou Van den Dries. "P-adic and real subanalytic sets." Annals of Mathematics 128.1 (1988): 79-138.
- ↑
مدلکاملی کششهای میدان ترتیبی اعداد حقیقی با تابعهای پفافی محدود شده و با تابع نمایی، الکس ویکلی، ترجمهٔ م. خانی، http://home.mathematik.uni-freiburg.de/khani/tajomeye-alex-.pdf