حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 3 دقیقه
لینک کوتاه

جانشینی مثلثاتی

جانشینی مثلثاتی(به انگلیسی: Trigonometric substitution) در ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور ساده‌تر کردن توابع به کار می‌رود.مثلاً برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی می‌توان از این تبدیل‌ها استفاده کرد.

  • اگر انتگرال شامل عبارت a − x باشد:
x = a sin ⁡ θ {\displaystyle x=a\sin \theta \,}

و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

1 − sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ . {\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .\,}
  • اگر انتگرال شامل عبارت a + x, باشد:
x = a tan ⁡ θ {\displaystyle x=a\tan \theta \,}
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ . {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .\,}
  • گر انتگرال شامل عبارت x − a, باشد:
x = a sec ⁡ θ {\displaystyle x=a\sec \theta \,}
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
sec 2 ⁡ θ − 1 = tan 2 ⁡ θ . {\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .\,}

چند نمونه

انتگرال‌های شامل g a − x در انتگرال زیر:

∫ d x a 2 − x 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}

می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:

x = a sin ⁡ ( θ ) , d x = a cos ⁡ ( θ ) d θ , θ = arcsin ⁡ ( x a ) {\displaystyle x=a\sin(\theta ),\quad dx=a\cos(\theta )\,d\theta ,\quad \theta =\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)}
∫ d x a 2 − x 2 = ∫ a cos ⁡ ( θ ) d θ a 2 − a 2 sin 2 ⁡ ( θ ) = ∫ a cos ⁡ ( θ ) d θ a 2 ( 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) ) = ∫ a cos ⁡ ( θ ) d θ a 2 cos 2 ⁡ ( θ ) = ∫ d θ = θ + C = arcsin ⁡ ( x a ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))}}}\\[8pt]&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )}}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C\end{aligned}}}

باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a> 0

نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرال‌های معین است.مثلاً اگر x از 0 تا a/2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر می‌کند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر می‌کند:

∫ 0 a / 2 d x a 2 − x 2 = ∫ 0 π / 6 d θ = π 6 . {\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}

منابع

  1. ↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
  2. ↑ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.