زمان تقریبی مطالعه: 3 دقیقه
جانشینی مثلثاتی (به انگلیسی : Trigonometric substitution ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور سادهتر کردن توابع به کار میرود.مثلاً برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی میتوان از این تبدیلها استفاده کرد.
اگر انتگرال شامل عبارت a − x باشد:
x
=
a
sin
θ
{\displaystyle x=a\sin \theta \,}
و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
1
−
sin
2
θ
=
cos
2
θ
.
{\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .\,}
اگر انتگرال شامل عبارت a + x , باشد:
x
=
a
tan
θ
{\displaystyle x=a\tan \theta \,}
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
.
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .\,}
گر انتگرال شامل عبارت x − a , باشد:
x
=
a
sec
θ
{\displaystyle x=a\sec \theta \,}
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
sec
2
θ
−
1
=
tan
2
θ
.
{\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .\,}
چند نمونه
انتگرالهای شامل g a − x
در انتگرال زیر:
∫
d
x
a
2
−
x
2
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}
می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:
x
=
a
sin
(
θ
)
,
d
x
=
a
cos
(
θ
)
d
θ
,
θ
=
arcsin
(
x
a
)
{\displaystyle x=a\sin(\theta ),\quad dx=a\cos(\theta )\,d\theta ,\quad \theta =\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)}
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
∫
a
cos
(
θ
)
d
θ
a
2
−
a
2
sin
2
(
θ
)
=
∫
a
cos
(
θ
)
d
θ
a
2
(
1
−
sin
2
(
θ
)
)
=
∫
a
cos
(
θ
)
d
θ
a
2
cos
2
(
θ
)
=
∫
d
θ
=
θ
+
C
=
arcsin
(
x
a
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))}}}\\[8pt]&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )}}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C\end{aligned}}}
باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a > 0
نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرالهای معین است.مثلاً اگر x از 0 تا a /2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر میکند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر میکند:
∫
0
a
/
2
d
x
a
2
−
x
2
=
∫
0
π
/
6
d
θ
=
π
6
.
{\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}
منابع
