توپولوژی دیجیتال

ابتدا مفهوم همبند بودن را برای زیرمجموعه‌های تصویر Img به صورت فرمول بیان می‌کنیم. فرض می‌کنیم Img یک ارائه از نقاط شبکه بندی با مختصات صحیح (x,y) باشد که x و y اعدادی طبیعی در یک بازه بسته هستند.

تعریف۱: ۴-همسایه‌های (x,y) چهار نقطهٔ مجاور عمودی و افقی به آن یعنی (x±۱,y) و (x, y±۱) هستند.

تعریف ۲: ۸-همسایه‌های (x,y) شامل ۴-همسایه‌ها و نقاط مجاور قطری آن (x+1, y±۱) و (x-1, y±۱) هستند.

اگر نقاط P و Q از Img همسایه باشند به آن‌ها ۴-مجاور یا ۸-مجاور می‌گوییم.

تعریف۳: P و Q نقاطی در Img هستند، منظور از مسیر از P تا Q دنباله‌ای از نقاط مانند P=${\displaystyle P_0}$

فرض کنیم S یک زیرمجموعه از Img باشد. برای دوری از حالات خاص فرض می‌کنیم S شامل مرز Img نیست.

تعریف۴: می‌گوییم P و Q در Sمتصل (همبند) هستند اگر یک مسیر از P به Q وجود داشته باشد به‌طوری‌که همهٔ نقاط مسیر نقاطی از S باشند.

گزاره: همبندی یک رابظهٔ هم‌ارزی است.

تعریف۵: دسته‌های هم‌ارزی تعریف شده با این رابطه سازه‌های S نامیده می‌شوند. اگر S فقط یک سازه داشته باشد همبند نامیده می‌شود. اگر Sc متمم S باشد، سازهٔ یکتایی از Sc که شامل مرز Img است، پیش زمینه S نامیده می‌شود. هر سازهٔ دیگری که وجود داشته باشد سوراخ نامیده می‌شود. اگر S هیچ سوراخی نداشته باشد تماماً همبند نامیده می‌شود.

یکی از روش‌های متداول آنالیز تصویر در پردازش تصویر دیجیتال، نازک کردن مجموعه‌های دیجیتال نقاط به مقدار ایده‌آل است.

تعریف: فرض کنیم S زیرمجموعه‌ای از Img باشد، S کمان نامیده می‌شود اگر همبند باشد و همهٔ نقاط آن جز دو نقطه انتهایی دقیقاً دو همسایه داشته باشند و دو نقطهٔ انتهایی فقط یک همسایه. کمان مسیری است که نه خودش را قطع می‌کند و نه به خود مماس می‌شود. اگر نقاط کمان را با ${\displaystyle Q_n}$

گزاره: یک خم حداکثر یک سوراخ دارد.

قضیه: یک خم دقیقاً یک سوراخ دارد.

S زیر مجموعه‌ای از Img است مرزِ S مجموعه‌ای از نقاط S است که در مکمل آن ۴-همسایه دارند.

تعریف: اگر C یک سازهٔ S و D یک سازهٔ Sc باشد. D-مرزِ C مجموعه‌ای از نقاط C است که در دی ۴-همسایه دارند. این مرز را با ${\displaystyle C_D}$

اکنون الگوریتمی را توضیح می‌دهیم که متوالیاً از همهٔ نقاط D-مرزِ C عبور می‌کند. این الگوریتم که ${\displaystyle B{F}_4}$

• lang_fa توپولوژی دیجیتال رزنفلد
• http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_topology