تداخل‌سنج مارتین-پاپلت

تبدیل فوریه طیف

میدان الکتریکی برای یک مؤلفه فرکانسی ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mathbf{\text{E}}(t)={\mathbf{\text{E}}}_0\sin (\omega t){\mathbf{\text{u}}}_h}$

که ${\displaystyle E_0}$

${\displaystyle {\mathbf{\text{E}}}_t=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\sin (\omega t)\frac{{\mathbf{\text{u}}}_h+{\mathbf{\text{u}}}_v}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle {\mathbf{\text{E}}}_r=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\sin (\omega t)\frac{{\mathbf{\text{u}}}_h-{\mathbf{\text{u}}}_v}{\sqrt{2}}}$

سپس در طول مسیر دو بازو اختلاف راه ${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\mathbf{\text{E}}}_t^{\mathrm{\prime }}(t)={\mathbf{\text{E}}}_t(t-\tau )=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\sin (\omega (t-\tau ))\frac{{\mathbf{\text{u}}}_h+{\mathbf{\text{u}}}_v}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle {\mathbf{\text{E}}}_r^{\mathrm{\prime }}(t)={\mathbf{\text{E}}}_r(t-\tau )=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\sin (\omega (t-\tau ))\frac{{\mathbf{\text{u}}}_h-{\mathbf{\text{u}}}_v}{\sqrt{2}}}$

دامنه نهایی که از برهم‌نهی این دو باریکه فوق به دست می‌آید به قرار زیر است:

${\displaystyle {\mathbf{\text{E}}}_{\text{final}}(t)={\mathbf{\text{E}}}_t^{\mathrm{\prime }}(t)+{\mathbf{\text{E}}}_r^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{E_0}{2}[(\sin (\omega t-\omega \tau )+\sin \omega t){\mathbf{\text{u}}}_h+(\sin (\omega t-\omega \tau )-\sin \omega t){\mathbf{\text{u}}}_v]}$

${\displaystyle =E_0[\sin (\omega t-\frac{\omega \tau }{2})\cos (\frac{\omega \tau }{2}){\mathbf{\text{u}}}_h-\cos (\omega t-\frac{\omega \tau }{2})\sin (\frac{\omega \tau }{2}){\mathbf{\text{u}}}_v]}$

در نتیجه شدت نهایی که توسط هر آشکارساز ثبت می‌شود طبق رابطه ${\displaystyle U(\tau )\propto ⟨|{\mathbf{\text{E}}}_{\text{final}}{|}^2{⟩}_t}$

${\displaystyle U_h(\tau )\propto \frac{E_0^2}{2}{\cos }^2\frac{\omega \tau }{2}}$

${\displaystyle U_v(\tau )\propto \frac{E_0^2}{2}{\sin }^2\frac{\omega \tau }{2}}$

که نشان می‌دهد سیگنال‌ها پاد هم‌بسته هستند، یعنی یعنی وقتی یک آشکارساز کمینه را نشان می‌دهد دیگری در حال نشان دادن بیشینه سیگنال است. حال با تعریف تفاضل تداخلی ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta (\tau )=\frac{{\cos }^2\frac{\omega \tau }{2}-{\sin }^2\frac{\omega \tau }{2}}{{\cos }^2\frac{\omega \tau }{2}+{\sin }^2\frac{\omega \tau }{2}}=\cos \omega \tau }$

حال به آسانی می‌توان برای تمام فرکانس‌های یک طیف با توزیع شدت دلخواه ${\displaystyle I(\omega )}$

${\displaystyle U_h(\tau )\propto {\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(\omega ){\cos }^2\frac{\omega \tau }{2}d\omega }$

${\displaystyle U_v(\tau )\propto {\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(\omega ){\sin }^2\frac{\omega \tau }{2}d\omega }$

و بنابراین تفاضل تداخلی به صورت زیر در می‌آید:

${\displaystyle \delta (\tau )=\frac{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(\omega )({\cos }^2\frac{\omega \tau }{2}-{\sin }^2\frac{\omega \tau }{2})d\omega }{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(\omega )({\cos }^2\frac{\omega \tau }{2}+{\sin }^2\frac{\omega \tau }{2})d\omega }=\frac{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(\omega )\cos (\omega \tau )d\omega }{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(\omega )d\omega }}$

و این عبارت چیزی نیست جز تبدیل کسینوس فوریه .

طیف‌سنجی تبدیل فوریه فروسرخ

یکی از قطبشگرها در چیدمان (معمولاً قطبشگر واقع در مسیر خروجی) با فرکانس زاویه‌ای ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle E_{\text{out}}=E_0(0,\sin \omega t,\cos \omega t)[\frac{\cos \omega t}{\sqrt{2}}\exp (-2jk{x}_1)+\frac{\sin \omega t}{\sqrt{2}}\exp (-2jk{x}_2)\exp (jk(x-ct))]}$

در نتیجه نسبت توان خروجی به ورودی برابر می‌شود با:

${\displaystyle \frac{I_{\text{out}}}{I_{\text{in}}}=\frac{|E_{\text{out}}{|}^2}{2E_0}=\frac{1}{4}[1+\sin (2\omega t)\cos (2k(x_1-x_2))]}$

اگر از یک تقویت‌کننده قفل‌شونده برای دمدوله کردن توان خروجی در فرکانس ${\displaystyle 2\omega }$

${\displaystyle F_{\text{MPI}}(x_1-x_2)=\frac{1}{4}\cos 2k(x_1-x_2)}$

بنابراین، طرح تداخلی را می‌توان با تغییر ${\displaystyle x_1}$

${\displaystyle \frac{I_{\text{out}}}{I_{\text{in}}}=\frac{1}{4}(1+\sin (2\omega t))[1+\cos 2k(x_1-x_2)]}$

و پس از دمدولاسیون با همان فرکانس ${\displaystyle 2\omega }$

${\displaystyle F_{\text{MPI}}(x_1-x_2)=\frac{1}{4}[1+\cos 2k(x_1-x_2)]}$

می‌بینیم که در این حالت سیگنال خروجی شامل یک ثابت اضافی متناسب با شدت چشمه است. این جمله ثابت در طرح تداخلی در عمل می‌تواند بسیار مشکل‌ساز شود. به دلیل وجود این جمله افت و خیزهای موجود در چشمه یا حساسیت آشکارساز می‌توانند به عنوان مؤلفه‌های فوریه جعلی در طرح تداخلی ظاهر شوند و در طیف خطا ایجاد کنند. غیاب این جمله در MPI یک مزیت مهم در کاربردهای طیف‌سنجی است. البته ممکن است این جمله در صورتی که شکافنده پرتو به‌طور کامل حول کل محدوده طیفی قطبیدگی ایجاد نکند در طرح تداخلی MPI نیز ظاهر شود، اما از آن‌جا که قطبشگرهای موجود در محدوده طول موج‌های فروسرخ دارای بازدهی بسیار بالایی هستند، این جمله ثابت ناشی از قطبش غیر کامل دارای اهمیت بسیار کم و ناچیزی می‌شود .