تبدیل هارتلی گسسته

تبدیل هارتلی گسسته (به انگلیسی: Discrete Hartley transform) (مخفف انگلیسی: DHT) یک تبدیل مرتبط با تبدیل فوریه است که مانند تبدیل فوریه گسسته (DFT) بر روی داده‌های گسسته و متناوب اعمال می‌شود. تفاوت اصلی این تبدیل با DFTها در عدم وجود اعداد مختلط در ورودی‌ها و خروجی‌های این تبدیل است. این امر از آنجا نشأت می‌گیرد که از تبدیل هارتلی گسسته تنها برای تبدیل داده‌های واقعی (که اعداد مختلط در آن‌ها حضور ندارند) به‌کار می‌روند.

تعریف

تبدیل هارتلی گسسته یک تابع خطیِ وارون‌پذیر به‌صورت H : R -> R است که در آن R برابر با اعداد حقیقی می‌باشد. در این تبدیل با استفاده از فرمول زیر N عدد حقیقی x₀, ...., x_N-1 به N عدد حقیقی H₀, ..., H_N-1 نگاشت می‌شوند:

H_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)+\sin \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

توجه داشته باشید که عبارت $\cos(z)+\sin(z)\!$

={\sqrt {2}}\cos(z-{\frac {\pi }{4}})

گاهی با نماد

\mathrm {cas} (z)\!

نشان داده می‌شود و نباید آن‌را با

e^{-iz}=\cos(z)-i\sin(z)\!

(i یک عدد موهومی است) که در معادله DFT وجود دارد، اشتباه گرفت.

جستارهای وابسته

منابع

R. N. Bracewell, "Discrete Hartley transform," J. Opt. Soc. Am. 73 (12), 1832–1835 (1983).
R. N. Bracewell, "The fast Hartley transform," Proc. IEEE 72 (8), 1010–1018 (1984).
R. N. Bracewell, "Computing with the Hartley Transform," Computers in Physics 9 (4), 373–379 (1995).