تبدیل طبیعی

اگر F و G تابعگون‌هایی بین رسته‌های C و D باشند، در آن صورت، یک تبدیل طبیعی η از F به G خانواده‌ای از پیکان هاست دو شرط را ارضاء می‌کند.

1. تبدیل طبیعی باید به هر شیء X در C یک فِلِش ‏η_X: F(X) → G(X) ‎ بین اشیاء D نظیر کند. پیکانِ η_X، مولفه ن η در X نامیده می‌شود.
2. مؤلفه‌ها باید به گونه‌ای باشد که برای هر پیکان f:X → Y داشته باشیم:

${\displaystyle {\eta }_Y\circ F(f)=G(f)\circ {\eta }_X}$

معادلهٔ اخیر را می‌توان به راحتی با نمودار جابجایی زیر تبیین کرد:

اگر F و G پادوردا باشند، پیکان‌های افقی در این نمودار، بر عکس می‌شوند. اگر η یک تبدیل طبیعی از F به G باشند، همچنین می‌توان نوشت η: F → G یا η: F ⇒ G. این را همچنین می‌توان اینطور بیان کرد که خانوادهٔ پیکانهای ‏ η_X: F(X) → G(X) ‎ در X طبیعی است.

اگر برای هر شئ X در C، پیکان η_X یک یکریختی باشد، یک‌ریختی در D باشد، در آنصورت η را یک یکریختی طبیعی (یا گاهی هم‌ارزی طبیعی یا یکریختی تابعگون‌ها) می‌گویند. دو تابعگون F و G را به طور طبیعی یکریخت یا به‌طور ساده‌تر، یکریخت گویند اگر یک یکریختی از F به G وجود داشته باشد.

یک تبدیل طبیعی η از F به G، عملاً یک خانواده ‏ η_X: F(X) → G(X) ‎ از پیکان هاست. بنابراین یک تبدیل طبیعی، یک تبدیل غیرطبیعی است که η_Y ∘ F(f) = G(f) ∘ η_X برای هر پیکان f: X → Y. طبیعی ساز η، که با‏ nat(η) ‎ نشان می‌دهند، بزرگترین زیر-رسته از C شامل تمام اشیاء از C که η به یک تبدیل طبیعی تحدید می‌شود.

دترمینان

برای حلقه‌های جابجایی R و S با همریختی ‏ f: R → S ‎، گروه‌های متناظر متشکل از ماتریس‌های n × n وارون پذیر ‏ GL_n(R)‎ و ‏ GL_n(S)‎، یک همریختی ‏ GLn(f)‎ را به ارث می‌برند که با استفاده از f به روی هر مولفه از ماتریس به دست می‌آیند. به طور مشابه، f به یک همریختی گروهی f*: R* → S تحدید می شودکه در آن *R نشان دهنده گروه همانی‌های R است. در واقع ‏ GL_n ‎ و * تابعگون‌هایی از CRing به Grp هستند. دترمینان روی گروه ‏ GL_n(R)‎ را که با ‏ det_R ‎ نشان می‌دهیم، یک همریختی گروهی از ‏ GL_n(R)‎ به *R است. به علاوه با توجه به اینکه دترمینان روی تمام حلقه‌ها به طور یکسانی تعریف می‌شود، داریم: ‏ f* ∘ det_R = det_S ∘ GL_n(f)‎. این نکته، باعث می‌شود که دترمینان، یک تبدیل طبیعی از ‏ GL_n ‎ به * محسوب شود.

اگر X یک شی از یک رسته موضعاَ کوچک C باشد، در آن صورت، تابع ${\displaystyle Y\to Ho{m}_C(X,Y)}$

گفته شده که ساندرز مک لین، یکی از بنیانگذاران نظریهٔ رسته‌ها، گفته است: «من رسته‌ها را برای مطالعهٔ تابعگون‌ها ابداع نکردم؛ آنها را برای مطالعه تبدیلات طبیعی ابداع نمودم.» همان‌طور مطالعهٔ گروه‌ها بدون مطالعهٔ همریختی‌ها کامل نیست، مطالعهٔ رسته‌ها بدون مطالعهٔ تابعگون‌ها ناکامل است. دلیل اظهار نظر مک لین این است که مطالعه تابعگون‌ها، بدون مطالعهٔ تبدیلات طبیعی، به خودی خود کامل نیست.

پیش زمینهٔ سخن مک لین، نظریهٔ اصل موضوعه‌ای همولوژی‌ها بود. می‌توان نشان داد که روش‌های مختلف ساخت همولوژی، برهم منطبق اند: به عنوان مثال در مورد یک مجتمع سادکی (به انگلیسی: simplicial complex)، گروه‌هایی که مستقیماً تعریف شده‌اند، با آنهایی که از نظریهٔ تکین هستند، یکریخت خواهند بود. آنچه را که نمی‌توان بدون زبان تبدیلات طبیعی به راحتی تبیین کرد، این است که چگونه گروه‌های همولوژی با پیکان‌های بین اشیاء، سازگارند، و اینکه چطور دو تئوری همولوژی معادل، نه تنها گروه‌های همولوژی یکسانی دارند، بلکه مورفیزم‌های یکسانی بین آن گروه‌ها نیز دارند.