تابع یکنوا

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، تابع ${\displaystyle f}$

یک تابع یکنوای صعودی است (یا صعودی یا غیر نزولی)، اگر برای همه ${\displaystyle x}$

برخی از کاربردها و نتایج پایه

خواص زیر برای تابع یکنوا ${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$

• ${\displaystyle f}$
  دارای حد راست و چپ است.
• ${\displaystyle f}$
  در مثبت بینهایت و منفی بینهایت ( ${\displaystyle \pm \mathrm{\infty }}$
   ) دارای حد است که این حد یا یک عدد حقیقی است یا ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$
  یا ${\displaystyle \left(-\mathrm{\infty }\right)}$
• ${\displaystyle f}$
  تنها می‌تواند پرش ناپیوستگی داشته باشد.
• ${\displaystyle f}$
  تنها می‌تواند تعداد شمارایی ناپیوستگی در دامنه اش داشته باشد.

این خواص دلیل مفید بودن توابع یکنوا در آنالیز ریاضی هستند. دو واقعیت دربارهٔ این توابع عبارتند از:

• اگر ${\displaystyle f}$
  یک تابع یکنوا باشد که روی بازه ${\displaystyle I}$
  تعریف شده باشد، آنگاه ${\displaystyle f}$
  تقریباً در همه جا روی ${\displaystyle I}$
  قابل مشتق‌گیری است. به عبارت دیگر برای مجموعه ${\displaystyle \left\{x:x\in I\right\}}$
  از اعداد ${\displaystyle x}$
  در ${\displaystyle I}$
  که ${\displaystyle f}$
  در نقطه ${\displaystyle x}$
  قابل مشتق گیری نباشد، اندازه لبک صفر دارد.
• اگر ${\displaystyle f}$
  تابعی یکنوا باشد که روی بازه ${\displaystyle \left[a,b\right]}$
  تعریف شده‌است آنگاه ${\displaystyle f}$
  انتگرال ریمان دارد.

یک کاربرد مهم تابع یکنوا در نظریه احتمال است. اگر ${\displaystyle X}$

• Weisstein, Eric W. "Monotonic Function". MathWorld.