تابع وانیر

معمولاً حالت پایهٔ الکترونی یک سیستم تناوبی در تقریبِ ذرهٔ مستقل بر حسب توابع بلوخ توصیف می‌گردد:

${\displaystyle {\psi }_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{u}_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})}$

که (u_kr) دارای دورهٔ تناوب یکسان با کریستال دارد. سپس توابع وانیر به صورت زیر بیان می‌شود:

${\displaystyle {\varphi }_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{\mathbf{k}}{e}^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}}{\psi }_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})}$

که در آن R می‌تواند هر بردار شبکه باشد،N تعداد یاخته‌های اولیه در کریستال، و جمع روی k شامل تمام مقادیر k در ناحیهٔ بریلوئن است.

نظریّهٔ توابع وانییر با وجود آزادی پیمانه‌ای موجود در تابع موج پیچیده‌تر می‌شود. معادله موج بلوخ را که در آن این پیمانه ظاهر شده است، می‌توان به شکل زیر نشان داد:

${\displaystyle |{\tilde{\psi }}_{n\mathbf{k}}⟩=e^{i{\varphi }_n(\mathbf{k})}|{\psi }_{n\mathbf{k}}⟩=e^{i{\varphi }_n(\mathbf{k})}{u}_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})e^{i\mathbf{k}.\mathbf{r}}}$

و این هم ارز است با

${\displaystyle |{\tilde{u}}_{n\mathbf{k}}⟩=e^{i{\varphi }_n(\mathbf{k})}|u_{n\mathbf{k}}⟩=e^{i{\varphi }_n(\mathbf{k})}{u}_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})}$

که در آن ${\displaystyle {\varphi }_n(\mathbf{k})}$

${\displaystyle {\varphi }_n(\mathbf{k}+G)={\varphi }_n(\mathbf{k})+G\mathrm{\Delta }\mathbf{R}}$

به این ترتیب ${\displaystyle {\varphi }_n}$

این ادراک که آزادی پیمانه‌ای معادلات فوق در توابع وانییر انتشار می‌یابد، بسیار مهم بوده و به این معناست که انتخاب پیمانه‌های نرم مختلف موجب به دست آمدن مجموعه توابع وانییر مختلفی می‌شود که در شکل و همین‌طور این گستردگی توابع بروز می‌کند. از این رو می‌توان گفت توابع وانییر نایکتایی بیشتری نسبت به توابع بلوخ دارند که صرفاً درونشان یک تغییر فاز روی داده است. به عبارت دیگر، ضرب کردن تابع بلوخ در یک عامل فاز تأثیری در ویژگی‌های الکترونی ندارد، امّا روی تابع وانییر منتج از توابع بلوخ تأثیر می‌گذارد و بر این موضوع تأکید می‌شودکه در معادله شرودینگر برای انتخاب پیمانهٔ اوربیتال‌های بلوخ هیچ ترجیحی وجود ندارد. آزادی پیمانه‌ای فرصتی را فراهم می‌کند تا بدون تغییر خواص فیزیکی سیستم بتوان توابع وانییر جایگزیده‌تری پیدا کرد. این ایده برای اوّلین بار توسط مارزاری و واندربیلت در سال ۱۹۹۷ مطرح شد و منجر به تولید توابع بیشینه جایگزیده گردید.