تابع دلتای دیراک

دلتای دیراک را با اغماض می‌توان چنین تعریف کرد:

از تبعات این تعریف یکی این است که:

خواص جبری

حاصل ضرب توزیعی δ با x برابر با صفر است:

${\displaystyle x\delta (x)=0}$

و بالعکس اگر (xf(x) = xg(x، که f و g توزیع هستند، آن گاه:

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$

به ازای عدد ثابت c ای.

انتقال

انتگرال تابع دیراک تحت تاخیر زمانی را، این رابطه می‌دهد:

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\delta (t-T)dt=f(T).}$

که گاهی اوقات به عنوان خاصیت غربال کردن (به انگلیسی: sifting) یا خاصیت نمونه برداری (به انگلیسی: sampling) به آن اشاره می‌شود. گفته می‌شود که تابع دلتا مقدار را در نقطه t = T "غربال" می‌کند.

دلتای دیراک تعمیم یافته

به‌طور کلی می دانیم:

${\displaystyle \delta (f(x))=\frac{du(f(x))}{df(x)}}$

که در آن ${\displaystyle u(t)}$

${\displaystyle \delta (f(x))=\frac{\frac{du(f(x))}{dx}}{\frac{df(x)}{dx}}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}\frac{du(f(x))}{dx}}$

که در آن ${\displaystyle u(f(x))}$

• جواب بنیادین
• تابع گرین

دیگر جستارها

• توابع تعمیم‌یافته
• توزیعات (ریاضیات)