تابع توما

تابع توما تابعی است که در سال ۱۸۷۵ میلادی توسط ریاضیدان آلمانی، کارل یوهانس توما معرفی شد. تابع توما در تمام نقاط گنگ دامنه‌اش پیوسته و در تمام نقاط گویای دامنه‌اش ناپیوسته است.

نمودار تابع توما در بازهٔ (۰,۱)

تعریف

فرض می‌کنیم $A:=\left\{x\in \mathbb {R} :x>0\right\}$

در اینصورت تابع توما چنین تعریف می‌شود:

$f(x):={\begin{cases}0,&x\notin \mathbb {Q} \\{\frac {1}{n}},&(x={\frac {m}{n}},(m,n)=1,m,n\in \mathbb {N} )\end{cases}}$

یعنی برای هر عدد گنگ x>۰ تعریف می‌کنیم f(x):=۰ و برای یک عدد گویا در A به صورت m/n، که در آن اعداد طبیعی m و n بجز ۱ عامل مشترکی ندارند، تعریف می‌کنیم $f (m / n) := ۱ / n$ .‏

بحث در پیوستگی تابع توما

با توجه به تعریف بالا ادعا می‌کنیم که f در هر عدد گنگ در A پیوسته و در هر عدد گویا در A ناپیوسته است.

اگر a>۰ گویا باشد، فرض می‌کنیم (x_n) دنباله‌ای از اعداد گنگ در A باشد که به a همگراست. در اینصورت $lim(f (x n)) = ۰$ ، در حالی که $f (a)> ۰$ . بنابراین f در a ناپیوسته است.

حال فرض می‌کنیم x_۰ عدد گنگ دلخواهی باشد. حدس می‌زنیم که $\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0$

برای تحقیق در درستی این حدس باید نشان دهیم که:

$\forall \varepsilon \;\exists \delta \;\forall x\;(0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon )$

اگر x∉ ℚ، گزارهٔ بالا درست است. در غیر اینصورت عدد N را طوری انتخاب می‌کنیم که $۱ / N <ε$ . فرض کنید

$\delta =Min\left\{\left|{\frac {m}{n}}-x_{0}\right|:\;1\leq m\leq N\right\}$

واضح است که $0 <δ$ ، حال اگر $|x - x ۰ | <δ$ آنگاه مخرج عدد گویای x بزرگتر از N است و

$| f (x)| = ۱ / n < ۱ / N <ε$

پس حدسمان ثابت شد. یعنی ثابت کردیم که تابع f در عدد گنگ دلخواه x_۰ پیوسته است.

جستارهای وابسته

تابع دیریکله

یادداشت

↑ این شرط برای خوش‌تعریفی تابع است.
↑ $| f (x) - f (x ۰)| = |۰ - ۰| = ۰ <ε$

پانویس

↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۵۶.
↑ مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۴۸.
↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۵۶.
↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۵۷.
↑ مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۴۸.

منابع

بارتل، رابرت ج.؛ شربرت، دانلد ر. (۱۳۷۸). آشنایی با آنالیز حقیقی. ترجمهٔ طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار. تهران: فاطمی. شابک ۹۶۴-۴۸۶-۰۹۰-X.
مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.

[2] این شرط برای خوش‌تعریفی تابع است.

[6] $| f (x) - f (x ۰)| = |۰ - ۰| = ۰ <ε$

[1] بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۵۶.

[3] مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۴۸.

[4] بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۵۶.

[5] بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۵۷.

[7] مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۴۸.