تابع تتای رامانوجان

تابع به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n(n+1)/2}{b}^{n(n-1)/2}}$

وقتی |ab| < ۱. ضرب سه‌گانهٔ ژاکوبی همانی از شکل زیر استفاده می‌کند:

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}.}$

اینجا عبارت ${\displaystyle (a;q{)}_n}$

${\displaystyle (a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})}$

نتیجه می‌شود:

${\displaystyle f(q,q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}^2(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}$

و:

${\displaystyle f(q,q^3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}=(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(-q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

و:

${\displaystyle f(-q,-q^2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(3n-1)/2}=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

که آخری تابع اویلر است، که در رابطهٔ مستقیم با تابع اتای ددکیند است. تابع تتای ژاکوبی بر حسب تابع تتای رامانوجان:

${\displaystyle \vartheta (w,q)=f(q{w}^2,q{w}^{-2})}$

از تابع تتای رامانوجان برای تعیین مایش (دیمانسیون) انتقالی در نظریهٔ رشتهٔ بوسونیک، نظریهٔ ابر ریسمان و نظریهٔ ام کاربرد دارد.