تئوری جدایی صندوق‌های سرمایه‌گذاری

پرتفولیو می‌تواند در چهارچوب میانگین واریانس تحلیل شود، هر سرمایه‌گذار با انتخاب یک پرتفولیو با سطح خاصی از نرخ بازده مورد انتظار خواستار کمترین واریانس (ریسک) ممکن برای پرتفولیو می‌باشد.

No risk-free asset

Minimize ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

subject to

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

and

${\displaystyle X^{T}1=W}$

۲σ: واریانس پرتفوی

U: سطحی از بارده پرتفوی با کمترین ریسک

R:بازدهی دارای

X:وزن دارای‌های پرتفوی

W:وزن پرتفوی

T:ترانهاده ماتریس

${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$

V: ماتریس کوواریانس نامعین مثبت

تابع لاگرانژ برای این مسئله بهینه‌سازی به صورت زیر می‌باشد

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),}$

η، λ:ضرایب لاگرانژ

این فرمول می‌تواند برای برداری بهینه مثلx از مقادیر دارایی که به وسیلهٔ برابر قرار دادن مشتقات نسبت به x، λ، ηحل می‌شود. شرایط مرتبه اول را برای xبر حسب λ و η حل می‌کنیم و معادله را بر حسب λ و ηبه دست می‌آوریم و با جایگذاری مقدار x به دست می‌آید.

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

که در آن:

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

برای سادگی می‌توان فرمول را به این شکل نوشت:

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

که در آن α و βپارامتر برداری بر مبنای پارامترهای مدل اصلی می‌باشند. اکنون دو معیار پرتفولیو کارا را در نظر بگیرید که به وجود آمده از نرخ بازده مورد انتظار u1 و u2 هستند.

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

پرتفوی بهینه فرضی u3 می‌توان میانگین وزنی از${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

معادله بالا اصل جدایی دو صندق تحلیل میانگین واریانس ثابت می‌کند. برای تحلیل هندسی می‌توان به مدل مارکویتز مراجعه کرد.

One risk-free asset

اگر یک دارای بدون ریسک در دسترس باشد و تئوری جدایی دو صندوق اعمل شود، در این مورد یکی از صندوق‌ها می‌تواند یک صندوق بسیار ساده شامل دارای بدون ریسک باشد؛ و صندوق دیگر می‌تواند شامل دارای بدون ریسک نباشد؛ بنابراین میانگین واریانس یک پرتفولیو کارا به سادگی شکل بگیرد به عنوان ترکیب از دو صندوق ریسکی (صندوقی که فقط دارای ریسکی دارد) و صندوق غیر ریسکی (صندوقی که فقط دارای بدون ریسک دارد) باشد. مشتقات بالا اعمال نمی‌شوند v نشان دهنده کواریانس ماتریس همه دارای‌ها را نشان می‌دهد که یک سطر و ستون آن صفر است بنابراین معکوس پذیر نیست. در عوض مسئله می‌تواند به شکل مینیمم کردن واریانس فرموله شود.

Minimize ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

subject to

${\displaystyle (W-X^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

که در آن rf بازده بدون ریسک، X بردار تعداد دارای‌های ریسکی و r بردار ریسک مورد انتظار برای دارای‌های ریسکی است. سمت چپ معادله آخر نرخ بازده مورد انتظار پرتفولیو است که مقدار داخل پرانتز مقدار دارای‌های بدون ریسک پرتفولیو می‌باشد. ترکیب کردن دارای‌ها محدودیت‌ها را بیشتر می‌کند که در مرحله قبل در محدودیت لاگرانژ خواسته شده بود. تابع هدف می‌تواند به شکل ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

البته این برابر بردار صفر است اگر ${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

همچنین می‌توان نشان داد (شبیه به همان چیزی که در مورد صندوق‌های سرمایه‌گذاری مشترک نشان دادیم) که هر بردار پرتفولیو دارای ریسکی (که x بهینه برای هر مقدار ازμ) می‌توان به شکل ترکیب وزنی آخری و بردار صفر نوشت. برای توصیف هندسی به مرز کارامد و بدون دارای‌های ریسکی رجوع شود (the efficient frontier with no risk-free asset.)

اگر سرمایه گذاران ریسک گریزی زیاد داشته باشد. اصل جدایی می‌تواند بدون تحلیل میانگین واریانس به دست آید. دیود و جوزف در سال ۱۹۷۰ نشان دادند که جدایی دو صندوق به وجود می‌آید اگر سرمایه گذاران ریسک گریزی زیادی داشته باشند با همان تابع مطوبیت.

اخیراً در بهینه‌سازی پرتفولیو پویا چاناک اغلو و اوزوکیجی سطح ثروت اولیه سرمایه‌گذار (ویژگی متمایز سرمایه‌گذار) بر روی ترکیب پرتفولیو بهینه ریسکی تأثیر نمی‌گذارد. همین نتیجه اشمدرز به دست آمده است.