حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 1 دقیقه
لینک کوتاه

بسط انگل

بسط اِنگِل (Engel expansion) بیان می‌کند هر عدد گویا را می‌توان به صورت سری متناهی از کسرها و هر عدد گنگ را به صورت سری نامتناهی از کسرها نوشت

x = 1 a 1 + 1 a 1 a 2 + 1 a 1 a 2 a 3 + ⋯ . {\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .\;}

فریدریش انگل برای اولین بار چنین سری را بسط داد که مجموعی از کسرهای مصری می‌باشد. بسط پیرس شبیه به بسط فریدریش انگل است. دانشمندان دریافتند که بسط انگل را می‌توان به صورت کسرهای نامتناهی (کسرهای خیامی ) نوشت

x = 1 + 1 + 1 + ⋯ a 3 a 2 a 1 . {\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}

مثال

برای نوشتن بسط انگل برای عدد 75/1 مراحل زیر را انجام می‌دهیم

u 1 = 1.175 , a 1 = ⌈ 1 1.175 ⌉ = 1 {\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1\,}
u 2 = u 1 a 1 − 1 = 1.175 ⋅ 1 − 1 = 0.175 , a 2 = ⌈ 1 0.175 ⌉ = 6 {\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6\,}
u 3 = u 2 a 2 − 1 = 0.175 ⋅ 6 − 1 = 0.05 , a 3 = ⌈ 1 0.05 ⌉ = 20 {\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20\,}
u 4 = u 3 a 3 − 1 = 0.05 ⋅ 20 − 1 = 0 {\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0\,}

با پایان یافتن سری‌ها داریم:

1.175 = 1 1 + 1 1 ⋅ 6 + 1 1 ⋅ 6 ⋅ 20 {\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}

و بسط انگل عدد 75/1 به صورت {20, 6, 1} می‌باشد.

منابع

  • Engel, F. (1913), "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen", Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg, pp. 190–191.
  • Erdős, Paul; Rényi, Alfréd; Szüsz, Peter (1958), "On Engel's and Sylvester's series" (PDF), Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., 1: 7–32.
  • Erdős, Paul; Shallit, Jeffrey (1991), "New bounds on the length of finite Pierce and Engel series", Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 3 (1): 43–53, doi:10.5802/jtnb.41, MR 1116100.
  • Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004), "On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients", Monatshefte für Mathematik, 143 (4): 285–298, doi:10.1007/s00605-004-0246-3.
  • Wu, Jun (2000), "A problem of Galambos on Engel expansions", Acta Arithmetica, 92 (4): 383–386, MR 1760244.
  • Wu, Jun (2003), "How many points have the same Engel and Sylvester expansions?", Journal of Number Theory, 103 (1): 16–26, doi:10.1016/S0022-314X(03)00017-9, MR 2008063.

پیوند به بیرون

  • Weisstein, Eric W. "Engel Expansion". MathWorld–A Wolfram Web Resource.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.