بازه اطمینان

بازه اطمینان (به انگلیسی: Confidence Interval) برای تخمین یک پارامتر، بازه‌ای است که پارامتر با حداقل سطح احتمال معینی مانند $1-\alpha$

عضو آن بازه‌است. به بیان ریاضی، فرض کنید داده

\mathbf {x}

بر اساس توزیع احتمال

P(\mathbf {x} |\theta )

با پارامتر

\theta

توزیع شده‌است و می‌خواهیم بر اساس

n

نمونهٔ مشاهده شده از

\mathbf {x}

یعنی

\mathbf {X} =\{\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\}

بازه‌ای برای

\theta

بیابیم که با احتمال

1-\alpha

،

\theta

عضو آن باشد. این بازه که با

[L(\mathbf {X} ),U(\mathbf {X} )]

نمایش داده می‌شود —تا نشان‌دهد که کران بالا و پایین بازه تابعی از داده هستند— خواص زیر را ارضا می‌کند:

L(\mathbf {X} )\leq U(\mathbf {X} ).

و

\inf _{\theta }\mathbb {P} _{\theta }(\theta \in [L(\mathbf {X} ),U(\mathbf {X} )])=1-\alpha .

مثال ساده روزمره

در مثال مناقشه نیست.

تصور کنید یک خیاط تازه‌وارد به شهر شما، می‌آید و می‌پرسد: قد پیرمردهای شهر شما حدوداً چقده؟ یکی بر می گرده می گه: یعنی می گی که تمام پیرمردهای شهرمونو متر بزنیم و میانگین‌شو تقدیم کنیم؟! شما می‌پرید وسط و طبق آماری که از حدود سی و سه نفر بازنشسته داشتید می گید: حدود یک و نیم متر! می‌پرسد: چقدر مطمئنی؟ می‌گویید: خوب! به احتمال ۹۰ درصد میانگین قد پیرمردهای شهر ما بین ۱۴۰ تا ۱۶۰ سانت باشه! همکارتان زرنگی می‌کند و می‌گوید: به احتمال ۹۹ درصد میانگین قد پیرمردهای شهر ما بین یک تا دو متره! (هر دو جواب درسته!)

۹۹درصد همان سطح اطمینان و یک تا دو متر، بازه اطمینان هستند.

به بیان دقیق تر، اگر میانگین جامعه m (بعضا β هم می‌آورند) و انحراف معیارش s باشد و ما N مورد را نمونه برداری کنیم و سطح اطمینان CI مطلوب باشد، ابتدا مقدار z را توسط خط زیر در متلب بدست می‌آوریم:

z=norminv(CI/2+1/2,m,s)

سپس می‌یابیم:

m±z*s/sqrt(N)

منابع

↑ Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical Inference (به انگلیسی). Duxbury Press. p. ۴۱۷–۴۲۰.

[1] Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical Inference (به انگلیسی). Duxbury Press. p. ۴۱۷–۴۲۰.