الگوریتم کاراتسوبا

در سال ۱۹۵۲ آندره کولوموگوروف ادعا کرد که الگوریتم ضرب کلاسیک از نظر پیچیدگی زمانی بهینه‌است و هر الگوریتم دیگری که برای ضرب دو عدد ارائه شود، حداقل ${\displaystyle \mathrm{\Omega }(n^2)}$

حالت خاص

الگوریتم به روش تقسیم و حل عمل می‌کند. به این معنا که ابتدا هر کدام از اعداد را به قسمت‌های کوچکتر تقسیم کرده و سپس به صورت بازگشتی، روی آن‌ها ضرب را انجام می‌دهد.
ابتدا حالت ساده‌ای را در نظر می‌گیریم. این حالت به راحتی قابل تعمیم به روش کلی است.
فرض کنید عدد اول X و عدد دوم Y است. هر دو عدد صحیح و در مبنای دو و دارای n رقم که n توانی از ۲ است. در ابتدا دو عدد مطابق شکل به دو قسمت تقسیم می‌شوند. X_۱ قسمت پرارزش و X_۰ قسمت کم‌ارزش است. به صورت مشابه، برای Y هم به همین صورت است. پس داریم:

به این ترتیب ضرب XY به صورت زیر در می‌آید:

در مبنای ۲، ضرب یک عدد در توانی از ۲، به صورت عملیات شیفت در کامپیوتر به راحتی انجام می‌شود. عملیات شیفت و جمع، در مقابل عملیات ضرب، زمان اجرای بسیار کمی دارند. به همین خاطر، زمان اجرای آن را از (1)O در نظر می‌گیرند. حال مسئله به ۴ زیرمسئله با اندازهٔ نصف مسئله قبلی تبدیل شده‌است؛ بنابراین می‌توان این ۴ مسئله را به روش بازگشتی حل و در زمان خطی، عبارت کلی را محاسبه کرد. پیچیدگی زمانی رابطه بالا به صورت زیر است:

که (T(n زمان اجرای برای ضرب دو عدد n بیتی است. زمان اجرای آن از (O(n است.
پس هنوز بهبودی صورت نیافته‌است.
با یک راه حل ساده می‌توان تعداد ضرب‌های انجام شده را از ۴ به ۳ رساند.
فرض کنید:

با داشتن x_۲ و y_۲ می‌توان تنها با استفاده از ۳ جمله این ضرب را انجام داد. به این ترتیب که به جای جملهٔ (x_۱y_۰ + x_۰y_۱) از(x_۲y_۲ – x_۰y_۰ - x_۱y_۱) استفاده کنیم.
به این ترتیب برای انجام مرحلهٔ بازگشتی تنها به ۳ جمله نیاز است:

پس زمان اجرا به صورت زیر در می‌آید:

با این ترفند ساده به راحتی زمان اجرا بهبود یافت.

تحلیل دقیق‌تر زمان اجرا

با رسم درخت بازگشت این الگوریتم، شهود بهتری نسبت به آن در این حالت خاص، بدست می‌آید. درخت بازگشت را در شکل زیر در نظر بگیرید.

در هر عمق از این درخت مسئله به ۳ مسئله با اندازه نصف تبدیل می‌شود. در عمق (log_۲(n به زیر مسئله‌ای با اندازه یک تبدیل می‌شود و روند بازگشتی متوقف می‌شود؛ بنابراین ارتفاع درخت برابر (log_۲(n است.
اگر عمقی مانند k را در نظر گرفته شود، ۳ زیر مسئله با اندازه n /2 وجود دارد. برای هر کدام از این زیر مسئله‌ها، کافی است عملیاتی با هزینهٔ خطی بپردازیم. این عملیات شامل جمع کردن زیرمسئله‌ها و تقسیم‌کردن هر کدام به زیرمسئله‌هایی کوچکتر است؛ بنابراین، در عمق kام هزینه‌ای معادل زیر پرداخت می‌کنیم:

حال اگر همهٔ هزینه‌ها را در عمق‌های مختلف جمع کنیم، هزینه کل برابر (O(n خواهد شد. در حالیکه اگر در هر مرحله به ۴ زیرمسئله تقسیم می‌شد و از این نکته استفاده نمی‌شد، زمان اجرا برابر (O(n می‌شود. به کمک قضیهٔ اصلی نیز می‌توان زمان اجرا را محاسبه کرد که به همین نتیجه ختم خواهد شد.

حالت کلی

در این قسمت حالت کلی الگوریتم کاراتسوبا توضیح داده می‌شود.
فرض کنید X و Y دو عدد n رقمی در مبنای B هستند. به ازای هر m کوچکتر از n می‌توان این دو عدد را به صورت زیر نوشت:

مشابه ایده‌ای که در بالا گفته شد می‌توان این ۴ ضرب را تنها با ۳ ضرب و چند عملیات جمع اضافه انجام داد. کافی است به جای (x_۱y_۰ + x_۰y_۱) از x_۱+x_۰) (y_۱+y_۰) - x_۰y_۰ - x_۱y_۱) استفاده کنیم؛ بنابراین:

مثال

فرض کنید می‌خواهیم حاصل‌ضرب دو عدد ۱۲۳۴ و ۵۶۷۸ را بدست آوریم. دو عدد دهدهی هستند پس B = ۱۰ است. m را نیز ۲ انتخاب می‌کنیم.

پیاده‌سازی

شبه‌کد الگوریتم به صورت زیر است:

 1 Algorithm karatsuba_multiplication(X,Y)
 2 Input: X and Y two binary number)
 3 Output: product of X and Y
 4 begin
 5 if n = 1: return xy
 6 x۱ = X>> n/2
 7 x۰ = X mod 2 
 8 y۱ = Y>> n/2
 9 y۰ = Y mod 2 
 10 x۲ = x۱ + x۰
 11 y۲ = y۱ + y۰
 12 R۱ = multiply(x۱ , y۱)
 13 R۲ = multiply(x۰ , y۰)
 14 R۳ = multiply(x۲ , y۲)
 15 return R۱ × ۲ + (R۳ − R۱ − R۲) × ۲ + R۲
 16 end

پیاده‌سازی الگوریتم با استفاده از جاوا:

import java.math.BigInteger;
import java.util.Random;

class Karatsuba {
    private final static BigInteger ZERO = new BigInteger("0");

    public static BigInteger karatsuba(BigInteger x, BigInteger y) {

        // cutoff to brute force
        int N = Math.max(x.bitLength(), y.bitLength());
        if (N <= 2000) return x.multiply(y);                // optimize this parameter

        // number of bits divided by 2, rounded up
        N = (N / 2) + (N % 2);

        // x = a + 2^N b,   y = c + 2^N d
        BigInteger b = x.shiftRight(N);
        BigInteger a = x.subtract(b.shiftLeft(N));
        BigInteger d = y.shiftRight(N);
        BigInteger c = y.subtract(d.shiftLeft(N));

        // compute sub-expressions
        BigInteger ac    = karatsuba(a, c);
        BigInteger bd    = karatsuba(b, d);
        BigInteger abcd  = karatsuba(a.add(b), c.add(d));

        return ac.add(abcd.subtract(ac).subtract(bd).shiftLeft(N)).add(bd.shiftLeft(2*N));
   }

    public static void main(String[] args) {
        long start, stop, elapsed;
        Random random = new Random();
        int N = Integer.parseInt(args[0]);
        BigInteger a = new BigInteger(N, random);
        BigInteger b = new BigInteger(N, random);

        start = System.currentTimeMillis();
        BigInteger c = karatsuba(a, b);
        stop = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(stop - start);

        start = System.currentTimeMillis();
        BigInteger d = a.multiply(b);
        stop = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(stop - start);

        System.out.println((c.equals(d)));
   }
}

پیاده‌سازی الگوریتم با استفاده از پایتون:

_CUTOFF = ۱۵۳۶;

def multiply(x, y):
    if x.bit_length() <= _CUTOFF or y.bit_length() <= _CUTOFF:  # Base case
        return x * y;

    else:
        n = max(x.bit_length(), y.bit_length())
        half = (n + 32) / 64 * 32
        mask = (۱ <<half) - 1
        xlow = x & mask
        ylow = y & mask
        xhigh = x>> half
        yhigh = y>> half

        a = multiply(xhigh, yhigh)
        b = multiply(xlow + xhigh, ylow + yhigh)
        c = multiply(xlow, ylow)
        d = b - a - c
        return (((a <<half) + d) <<half) + c

همان طور که دیدیم الگوریتم به صورت بازگشتی مسئله را به زیر مسئله‌هایی با اندازه نصف مسئله اولیه تبدیل کرده و این کار را تا تبدیل آن به زیر مسئله‌ای با اندازه یک ادامه می‌دهد. دلیل این کار این است که فرض شده‌است عمل ضرب دو عدد یک رقمی در(1)O انجام می‌گیرد.

در حالیکه در پردازنده‌های امروزی این گونه نیست بسیاری از پردازنده‌ها ضرب ۱۶ بیتی یا ۳۲ بیتی را در یک عملیات انجام می‌دهند. یعنی در معماری این پردازنده‌ها واحد ضرب‌کننده ۳۲ بیتی یا ۱۶ بیتی وجود دارد. به همین خاطر در عمل لازم نیست که به صورت بازگشتی با زیر مسئله‌ای با اندازه ۱ پایین برویم. با داشتن آگاهی نسبت به معماری پردازنده، می‌توان B و m را به گونه‌ای انتخاب کرد که کارایی و زمان اجرای بهتری از الگوریتم بدست آید.

• روش تقسیم و حل
• ضرب
• تبدیل سریع فوریه

• الگوریتم کاراتسوبا یه همراه اپلت جاوا
• الگوریتم به همراه مثال
• توضیحات الگوریتم به همراه کد و مقایسه آن با روش عادی ضرب
• کد الگوریتم به زبان ++C و مقایسه آن با روش عادی ضرب