الگوریتم باوم-ولچ

این الگوریتم می‌تواند درست‌نمایی بیشینه (Maximum likelihood) را برای پارامترهای انتقال و انتشار یک مدل پنهان مارکوف محاسبه کند. این الگوریتم جزو الگوریتم‌های یادگیری ماشین دسته‌بندی می‌شود. یعنی یک مجموعه داده از مشاهدات به عنوان داده های آموزشی در دسترس است و الگوریتم از روی این داده‌ها، پارامترهای مدل را تخمین می‌زند.

این الگوریتم به داده‌هایی که توسط الگوریتم‌های Forward و Backward تولید می‌شوند نیاز دارد. پارامترهای مدل را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

${\displaystyle p_{kl}}$

${\displaystyle e_l(\alpha )}$

ایده الگوریتم اینگونه است که:

${\displaystyle P(X|M)=\sum _{\pi }P(X,\pi |M)}$

یعنی احتمال دیده شدن توالی X در مدل M برابر است با جمع احتمال دیده شدن توالی به شرط تمامی مسیرها که آن هم برابر است با

${\displaystyle =\sum _{\pi }P(X|\pi ,M)P(\pi |M)}$

بنابر این می‌توانیم روابط بازگشتی زیر را حساب کنیم:

${\displaystyle f_k(i)=P(x_1\dots x_i,{\pi }_i=k)}$

${\displaystyle f_k(i+1)=e_l(x_{i+1})\sum _{k\in Q}{f}_k(i)p_{kl}}$

ورودی این الگوریتم: مدل M با الفبای ${\displaystyle \mathrm{\Sigma }}$

خروجی: احتمال تولید این توالی توسط مدل

این الگوریتم به صورت پویا متغیر ${\displaystyle f_l(i)}$

در الگوریتم backward رابطه بازگشتی برای محاسبه احتمال به صورت زیر است:

${\displaystyle b_k(i)=P(x_{i+1}\dots x_L,{\pi }_i=k)}$

متغیر ${\displaystyle b_k(i)}$

وقتی با داده‌های آموزش سر و کار داریم، گاهی اوقات داده ها همه حالات را پوشش نمی‌دهند مثلاً در مورد مسایل مدل پنهان مارکوف، احتمال دارد در مجموعه داده‌های آموزشی ما به دلایل مختلف انتقال از حالت i به حالت j مشاهده نشود در صورتی که این یک انتقال ممکن باشد، بنابراین احتمال این انتقال صفر محاسبه می‌شود که می‌تواند الگوریتم را به سمت جواب غلط پیش ببرد.

برای رفع این مشکل از شبه‌شماره‌ها( Pseudocount s) استفاده می‌کنیم. به این صورت که یک عدد کوچک را جای احتمال صفر، جایگزین می‌کنیم.

الگوریتم باوم-ولچ یک الگوریتم تکرار شونده است. ابتدا پارامترهای مدل به صورت تصادفی انتخاب می‌شوند و سپس در هر تکرار سعی می‌شود این پارامترها طوری اصلاح شوند که مدل به داده‌های آموزشی نزدیک شود. می‌توان آنقدر الگوریتم را تکرار کرد که تغییر قابل ملاحظه‌ای در پارامترهای بدست آمده رخ ندهد.

ورودی: مدل و داده‌های آموزشی ${\displaystyle x^1,x^2,\dots ,x^n}$

خروجی: مدل با پارامترهای انطباق یافته

شروع: ماتریس‌های P و E را به صورت دلخواه مقداردهی می‌کنیم.

قرار می‌دهیم: ${\displaystyle P_{kl}=0,E_k(b)=0}$

برای تمامی توالی‌های ${\displaystyle x^j}$

${\displaystyle f^j,b^j,P(x^j)}$

را محاسبه می‌کنیم

${\displaystyle P_{kl}}$

را به صورت روبرو بهبود می‌بخشیم ${\displaystyle \frac{1}{P(x^j)}\sum _i{f}_k^j(i)p_{lk}{e}_l(x_{i+1}^j)b_l^j(i+1)}$

${\displaystyle E_k(b)}$

را نیز اینگونه بهبود می‌دهیم: ${\displaystyle \frac{1}{P(x^j)}\sum _{\{i|x_i^j=b}{f}_k^j(i)b_l^j(i)}$

شبه‌شماره‌ها را در صورت لزوم اعمال می‌کنیم.

قرار می‌دهیم: ${\displaystyle p_{kl}=\frac{P_{kl}}{\sum _{q\in Q}{P}_{kq}},e_k(b)=\frac{E_k(b)}{\sum _{s\in \mathrm{\Sigma }}{E}_k(s)}}$

پایان: درجه درست‌نمایی بیشینه را محاسبه می‌کنیم، اگر تغییر چندانی نکرد یا اینکه به تعداد مشخصی از تکرار رسیدیم، به الگوریتم خاتمه می‌دهیم.

• An Interactive Spreadsheet for Teaching the Forward-Backward Algorithm (spreadsheet and article with step-by-step walkthrough)
• Formal derivation of the Baum-Welch algorithm بایگانی‌شده در ۲۸ فوریه ۲۰۱۲ توسط Wayback Machine
• Implementation of the Baum-Welch algorithm

• L. E. Baum, T. Petrie, G. Soules, and N. Weiss, <164:AMTOIT>2.0.CO;2-V "A maximization technique occurring in the statistical analysis of probabilistic functions of Markov chains", Ann. Math. Statist., vol. 41, no. 1, pp. 164–171, 1970.