اعداد ابرتام

در ریاضیات یک عدد ابرتام (به انگلیسی: Superperfect Number)، عددی صحیح مانند n است که در رابطهٔ زیر صدق کند

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

که در آن σ تابع تقسیم کننده می‌باشد.

اولین اعداد ابرتام عبارتند از :۲، ۴، ۱۶، ۶۴، ۴۰۹۶، ۶۵۵۳۶، ۲۶۲۱۴۴. اگر n یک عدد ابرتام زوج باشد باید به شکل توانی از ۲ مانند ۲ باشد به طوری که۲-۱ یک عدد اول مرسن باشد.

هنوز مشخص نیست که آیا عدد ابرتام فردی وجود دارد یا نه. یک عدد ابرتام فرد مانند n باید مربع کامل باشد به طوری هم n و هم (σ(n حداقل بر ۳ عدد اول متمایز بخشپذیر باشند. هیچ عدد ابرتام فردی کوچکتر از ۷x۱۰ وجود ندارد.

اعداد کامل و ابرتام زیر مجموعه‌ای از دسته‌ای بزرگتر از اعداد به نام (m،k)-کامل هستند که در رابطهٔ زیر صدق می‌کنند

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn\,.}$

با این نماد گذاری اعداد کامل (۱،۲)-کامل هستند و اعداد ابرتام (۲،۲)-کامل می باشند. دسته‌های دیگری از اعداد (m،k)-کامل عبارتند از :

m	k	(m،k)-کامل	دنباله OEIS
۲	۳	۸، ۲۱، ۵۱۲	A۰۱۹۲۸۱
۲	۴	۱۵، ۱۰۲۳، ۲۹۱۲۷	A۰۱۹۲۸۲
۲	۶	۴۲، ۸۴، ۱۶۰، ۳۳۶، ۱۳۴۴، ۸۶۰۱۶، ۵۵۰۰۹۵، ۱۳۷۶۲۵۶، ۵۵۰۵۰۲۴	A۰۱۹۲۸۳
۲	۷	۲۴، ۱۵۳۶، ۴۷۳۶۰، ۳۴۳۹۷۶	A۰۱۹۲۸۴
۲	۸	۶۰، ۲۴۰، ۹۶۰، ۴۰۹۲، ۱۶۳۶۸، ۵۸۲۵۴، ۶۱۴۴۰، ۶۵۴۷۲، ۱۱۶۵۰۸، ۴۶۶۰۳۲، ۷۱۰۴۰۰، ۹۸۳۰۴۰، ۱۸۶۴۱۲۸، ۳۹۳۲۱۶۰، ۴۱۹۰۲۰۸، ۶۷۰۴۳۳۲۸، ۱۱۹۳۰۴۱۹۲، ۲۶۸۱۷۳۳۱۲، ۱۹۰۸۸۶۷۰۷۲	A۰۱۹۲۸۵
۲	۹	۱۶۸، ۱۰۷۵۲، ۳۳۱۵۲۰، ۶۹۱۲۰۰، ۱۵۵۶۴۸۰، ۱۶۱۲۸۰۰، ۱۰۶۱۵۱۹۳۶	A۰۱۹۲۸۶
۲	۱۰	۴۸۰، ۵۰۴، ۱۳۸۲۴، ۳۲۲۵۶، ۳۲۷۳۶، ۱۹۸۰۳۴۲، ۱۳۹۶۶۱۷۹۸۴، ۳۲۵۸۷۷۵۲۹۶	A۰۱۹۲۸۷
۲	۱۱	۴۴۰۴۴۸۰، ۵۷۶۶۹۹۲۰، ۲۳۸۶۰۸۳۸۴	A۰۱۹۲۸۸
۲	۱۲	۲۲۰۰۳۸۰، ۸۸۰۱۵۲۰، ۱۴۹۱۳۰۲۴، ۳۵۲۰۶۰۸۰، ۱۴۰۸۹۶۰۰۰، ۴۵۹۸۱۸۲۴۰، ۷۷۵۸۹۸۸۸۰، ۲۲۵۳۱۸۹۱۲۰	A۰۱۹۲۸۹
۳	any	۱۲، ۱۴، ۲۴، ۵۲، ۹۸، ۱۵۶، ۲۹۴، ۶۸۴، ۹۱۰، ۱۳۶۸، ۱۴۴۰، ۴۴۸۰، ۴۷۸۸، ۵۴۶۰، ۵۸۴۰، ...	A۰۱۹۲۹۲
۴	any	۲، ۳، ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۵، ۱۸، ۲۱، ۲۴، ۲۶، ۳۲، ۳۹، ۴۲، ۶۰، ۶۵، ۷۲، ۸۴، ۹۶، ۱۶۰، ۱۸۲، ...	A۰۱۹۲۹۳