دیوفانتوس
دیوفانْتوس، ریاضی‌دان یونانی‌زبان اسکندرانی و نویسندۀ کتاب پرآوازۀ اریثمتیکا (احتمالاً از نیمۀ دوم سدۀ 3 م).
دانسته‌های ما دربارۀ زندگی دیوفانتوس بسیار ناچیز است؛ چندان‌که روزگار زندگی او را از حدود 150 ق‌م تا 350 م حدس می‌زدند (هولچ، 1052)، اما در پژوهشهای اخیر عموماً دورۀ فعالیت او را 250-270 م به شمار آورده‌اند. این حدس صرفاً مبتنی‌بر نامه‌ای از میخائیل پسلوس (راهب و فیلسوف بیزانسی سدۀ 11 م) است که پل تانری آن را در ضمن مجموعۀ آثار دیوفانتوس منتشر کرد. بنابر این نامه، آناتولیوس (اسقف لاذقیه از 270 م)، رساله‌ای در فن مصری محاسبه به دوستش دیوفانتوس اهدا کرده بود. به تأکید پسلوس، موضوع رساله سخت مورد توجه دیوفانتوس بود (نک : تانری، «آثار ... »، II / 38-39). این تاریخ‌گذاری با این فرض سازگار است که دیونوسیوس نامی، که دیوفانتوس شاهکار خود اریثمتیکا را به نام او نوشته، همان قدیس دیونوسیوس، اسقف اسکندریه از 247 م است که پیش از رسیدن به این مقام، از 231 م ریاست مدرسه‌‌ای مسیحی را در این شهر بر عهده داشته است. تانری این گمان را پیش کشیده است که چه‌بسا دیوفانتوس، اریثمتیکا را به خواستاری دیونوسیوس و برای تدریس در مدرسۀ او نوشته باشد. از وجیزه‌ای در حساب به یونانی نیز، البته به فرض سازگاری داده‌ها با واقعیت، تنها به ازدواج دیوفانتوس در 33سالگی، درگذشت پسر 42ساله‌اش در 80سالگی دیوفانتوس، و مرگ او در 84سالگی اشاره شده است (همان، II / 60 ff.؛ هولچ، همانجا؛ فوگل، 112, 118).
آثـار
از میان 4 اثری که می‌دانیم دیوفانتوس نوشته بوده، ریاضی‌دانان مسلمان تنها اریثمتیکا را می‌شناخته‌اند و ترجمۀ عربی بخشی مهم از آن را در دست داشته‌اند. از اثر دوم فقط قطعه‌هایی در دست است و نام دو اثر دیگر نیز تنها به‌واسطۀ نقل قول از آنها به دست ما رسیده است.
1. اریثمتیکا، در 13 کتاب (یا مقاله، آن‌چنان‌که در سنت ترجمۀ آثار یونانی به عربی مرسوم بود). در دورۀ اسلامی، 7 کتاب / مقالۀ آن با عنوان صناعة الجبر به عربی درآمد. این روایت عربی تأثیری شایان توجه بر شماری از نامورترین ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی داشت. مقالات چهارم تا هفتم این روایت عربی، با توجه به گم‌شدن اصل یونانی آنها، اهمیتی بیش از 3 مقالۀ نخست دارند و کشف آنها در 1350 ش / 1971 م در کتابخانۀ آستان قدس رضوی، نتیجۀ پژوهشها دربارۀ دیوفانتوس را به نحوی چشمگیر تغییر داده است. در این مقاله بیشتر دربارۀ همین 7 مقاله و تأثیر آن بر ریاضیات دورۀ اسلامی بحث خواهد شد و هنگام اشاره به بخشهای روایت یونانی و عربی به‌ترتیب دو اصطلاح «کتاب» و «مقاله» به کار خواهد رفت.
2. «اعداد چندضلعی»، که تنها قطعاتی از آن به دست ما رسیده است و مطالب اصیل اندکی در آن دیده می‌شود. در دست‌نویسی از اریثمتیکا که کاتب، کتاب نخست را دو کتاب به شمار آورده و درنتیجه مجموع 6 کتاب اریثمتیکا را در 7 کتاب آراسته، «اعداد چندضلعی» کتاب هشتم اریثمتیکا به شمار آمده است (نک : هیث، 5؛ هولچ، 1055)؛ ازاین‌رو، شماری از پژوهشگران هنگام بحث دربارۀ بخشهای موجود اریثمتیکا (نک : دنبالۀ مقاله) «اعداد چندضلعی» را نه اثری مستقل، که بخشی از اریثمتیکا انگاشته‌اند. تانری حتى درستی انتساب این اثر به دیوفانتوس را رد کرده است؛ چه، به گمان او این قطعه «تلاش بیهودۀ یکی از شارحان» برای حل یکی از مسائل مرتبط با این موضوع در اریثمتیکا بوده است. اما هیث (ص 12) و هولچ (همانجا) «اعداد چندضلعی» را در شمار آثار دیوفانتوس و اثری مستقل از او به شمار آورده‌اند، به‌ویژه ازآنروی که به‌کارگیری اثباتهای هندسی در «چندضلعی»، آن را آشکارا از اریثمتیکا متمایز می‌سازد (فوگل، 116).
اعداد چندضلعی به عددهایی گفته می‌شود که اگر یکهای آن را نقطه انگاریم، بتوان این نقطه‌ها را به‌صورت یک چندضلعی منتظم نمایش داد؛ برای مثال اعداد 1، 3، 6، 10 و 15 اعداد مثلثی، و 1، 6، 15، 28 و 45 اعداد شش‌ضلعی هستند (نک : شکل 1).
نخستین بخش از این کتاب دربرگیرندۀ لمهایی دربارۀ اعداد چندضلعی است، موضوعی که یونانیان از دیرباز با آن آشنا بودند و به‌ویژه پیروان فیثاغورس به آن علاقۀ بسیار داشتند. تعریف این اعداد گرچه تازه می‌نماید، اما معادل همان تعریف ارائه‌شدۀ هوپسیکلس (در منابع عربی: ابسقلاوس، ملحق‌کنندۀ مقاله‌ای به اصول اقلیدس، مشهور به مقالۀ چهاردهم اصول) است که خود دیوفانتوس به او استناد کرده (هیث، 2؛ بولمر تامس، 617). براساس این رابطه، nامین عدد sضلعی به زبان ریاضی امروز بدین قرار است:
برای مثال، پنجمین عدد شش‌ضلعی (n = 5 و s = 6) 45 است (نک : تصویر). البته دیوفانتوس این رابطه را بی‌جهت پیچیده کرده است، درحالیکه می‌توان آن را به دو صورت ساده‌شدۀ زیر نوشت:
دیوفانتوس سپس دستوری برای محاسبۀ n با داشتن (P(s, n و s به دست می‌دهد. کتاب در میانۀ اثبات قضیۀ پنجم به پایان می‌رسد (هولچ، 1065-1068؛ فوگل، همانجا).
نخستین چاپ متن یونانی این اثر همراه با ترجمۀ لاتینی به کوشش کلود گاسپار باشه (همراه با متن یونانی و ترجمۀ لاتینی 6 کتاب اریثمتیکا) در 1621 م چاپ شد و نخستین و تنها ویراست انتقادی متن یونانی آن نیز به کوشش پل تانری در مجموعۀ آثار دیوفانتوس (دو جلد) در لایپزیگ (1893-1895 م) منتشر گردید (نک : مآخذ).
گوستاو ورتهایم در 1890 م این اثر را همراه با اریثمتیکا به آلمانی ترجمه کرد و در 1897 م نیز مقاله‌ای دربارۀ قضیۀ پنجم کتاب نوشت. فابیو آچربی نیز مقاله‌ای به‌عنوان تکملۀ این قضیه نوشته است (ص 548-560).
3. پوریسماتا (پوریسمها): دیوفانتوس در ضمن مسائل 3، 5 و 16 کتابی که تا چندی پیش کتاب پنجم اریثمتیکا انگاشته می‌شد
و با توجه به پیداشدن ترجمۀ عربی باید یکی از کتابهای هشتم به بعد اریثمتیکا باشد، هنگام استفاده از 3 قضیۀ آشنای نظریۀ اعداد، عبارت «ما در پوریسماتا آورده‌ایم که ... » را آورده است که علی‌القاعده باید اشاره به اثبات آنها در کتابی به نام پوریسماتا از خود دیوفانتوس باشد (هیث، 3, 8-11؛ فوگل، 111). به گمان تانری این اثباتها در روایت اریثمتیکا وجود داشته و حذف آن باید کار شارحان باشد، و بدین‌سان پوریسماتا را اثری حاصل بیرون‌کشیدن این اثباتها از اریثمتیکا انگاشته است؛ اما هولچ (ص 1071) و هیث (همانجا) پوریسماتا را اثری مستقل انگاشته‌اند (نیز نک : فوگل، همانجا). این 3 قضیه بدین قرارند:
الف ـ اگر x+a=u2 و y+a=v2 و xy+a=w2، آنگاه: v=u+1.
ب ـ اگـر x=u2 و y=(u+1)2 و z=2(x+y)+2، آنگاه مجمـوع حاصل ضرب و حاصل جمع دوبه‌دوی این اعداد و نیز حاصل ضرب دو عدد در هم به اضافۀ عدد سوم، یعنی 6 عبارتِ xy+(x+y)، xy+z، xz+(x+z)، xz+y، yz+(y+z)، yz+x، همگی مربع کامل‌اند.
ج ـ حاصل تفریق دو مکعب کامل را می‌توان به‌صورت حاصل جمع دو مکعب کامل دیگر نوشت که البته در این مورد نمی‌توان گفت پوریسماتا دربردارندۀ اثباتی برای قضیه بوده است (همو، 116).
4. موریاستیکا، که باید در آن دربارۀ کسرها بحث شده باشد، تنها یک بار در حاشیه‌ای بر شرح یامبلیخوس بر اریثمتیکای نیکوماخوس آمده است (هیث، 3-4). شاید موریاستیکا نه رساله‌ای اصیل، که تکرار مطالب یادشده در اریثمتیکای دیوفانتوس دربارۀ کسرها بوده باشد (فوگل، 111).
روایت یونانی اریثمتیکا
دیوفانتوس در آغاز کتاب نخست، آورده است که اریثمتیکا را در 13 «کتاب» تنظیم کرده است. اما از اصل یونانی تاکنون تنها 6 کتاب دربارۀ مسائل عددی بر جای مانده است. پژوهشگران تاریخ ریاضیات نظرات گوناگونی دربارۀ این تفاوت شمار کتابها مطرح کرده‌اند که این دیدگاهها را می‌توان به طور خلاصه چنین برشمرد (نک : راشد، 10-11، «آثار ... 1»، 98-101):
1. کولِبروک در 1817 م با توجه به اینکه در شماری از دست‌نویسها، کتاب اول یا کتاب چهارم دو کتاب (و درنتیجه کل مجموعه به جای 6 کتاب، 7 کتاب) به شمار آمده است (دراین‌باره، نک : هیث، 5)، ترتیب و چینش کنونی مسائل عددی در کتابهای شش‌گانه را نادرست شمرد. به گمان او، چه‌بسا آنچه اکنون
6 کتاب به شمار می‌آید، بیش از 6 کتاب از 13 کتاب در تقسیم‌بندی دیوفانتوس را در خود داشته باشد (ص lxi؛ نیز نک : تانری، «مفقودشدن ... »، 193). در 1880 م، شارل آنری در تکمیل و تصحیح این دیدگاه تأکید کرد که از اریثمتیکا چیزی گم نشده و تفاوت در شمار کتابها از آن روی است که هریک از کتابهای کنونی بخش مسائل عددی در تقسیم‌بندی اصلی دو کتاب، و این بخش درمجموع 12 کتاب بوده است که همراه با «اعداد چندضلعی»، شمار آنها به همان 13 کتاب یادشده توسط دیوفانتوس می‌رسد (نیز نک : راشد، 10، «آثار ... 1»، 100).
2. در 1842 م، نسلمان این دیدگاه را مطرح کرد که: الف ـ شمـار کتابهای گم‌شده، از آنچه به نظر می‌رسد، کمتر است (همـان دیدگـاه کولبروک)؛ ب ـ کتـابهـای گم‌شده نـه در پـایـان اریثمتیکا، که در میان کتابهای موجود، به‌ویژه میان کتاب اول و دوم جای داشته‌اند؛ ج ـ سـابقۀ برهم‌خوردن ترتیب اصلی به پیش از سدۀ 13-14 م (تاریخ کتابت کهن‌ترین دست‌نویس یونانی موجود) بازمی‌گردد (ص 265). پژوهشگران نامداری چون هانکل (ص 158: « در هر صورت می‌توان با احتمال قریب‌به‌یقین گفت که بخشهای ازمیان‌رفته چیز شایان توجهی به دانسته‌های ما نمی‌افزاید») و کانتور (I / 467) از این دیدگاه پیروی کرده‌اند (نیز نک : راشد، همانجاها).
3. تانری در 1884 م، بر این نکات پای فشرد: الف ـ برخلاف نظر آنری بی‌گمـان چند کتـاب گم شده است؛ ب ـ برخلاف نظـر نسلمان، این کتابهای گم‌شده، در ترتیب اصلی، پس از کتاب ششم موجود (و نه در میـان آنهـا) جـای داشته‌اند؛ ج ـ سـابقۀ گم‌شدن کتابهای دیگر کمابیش به روزگار هوپاتیا (ح 370- ح 415 م) بازمی‌گردد که در اواخر سدۀ 4 م یا اوایل سدۀ 5 م، بر همین 6 کتاب، که امروزه به یونانی در دست است، شرح نوشت. ائوتوکیوس (اطوقیوس) عسقلانی (ح 480- ح 540 م) نیز در شرح بر مخروطات آپولونیوس، تنها 4 کتاب نخست از این 6 کتاب را در نظر داشته است («مفقودشدن»، 192-206، «آثار»، xxii-xxxiv). تانری برای یافتن علت از‌میان‌رفتن کتابهایی از پایان اریثمتیکا کوشیده است آن را با گم‌شدن 4 کتاب پایانی (پنجم تا هشتم) مخروطات آپولونیوس مقایسه کند. به گمان تانری در برهه‌ای از تاریخ به‌دلیل توفیق بسیار شرح ائوتوکیوس عسقلانی بر 4 مقالۀ نخست، به روایت اصلی چنان‌که باید و شاید توجه نشد و کاتبان تنها به استنساخ این شرح پرداختند و روایت اصلی به‌تدریج از میان رفت. به نظر تانری همین اتفاق نیز برای اریثمتیکا افتاده است. هوپاتیا در اواخر سدۀ 4 یا اوایل سدۀ 5 م، بر 6 کتاب نخست اریثمتیکا شرح نوشت و درنتیجه توجه تنها معطوف به همین 6 کتاب شد که البته «دربارۀ اعداد چندضلعی» نیز بدان افزوده شد. تنها تفاوت در این است که در اینجا، برخلاف مثال آپولونیوس و ائوتوکیوس که شرح بر جای ماند، شرح هوپاتیا گم شد و 6 مقالۀ اصلی اریثمتیکا بر جای ماند («مفقودشدن»، 196-197).
تانری دربارۀ دیوفانتوس آورده است: او را به‌دشواری می‌توان یونانی به شمار آورد. تقریباً ناممکن است که او تحت تأثیر دیدگاههای شرقی قرار نگرفته باشد. اگر او به زبان یونانی ننوشته بود، هیچ‌کس نمی‌توانست گمان برد که کار او حاصل نبوغ هلنی است («هندسه ... »، 5). به نظر تانری، دیوفانتوس چونان پاپوس است؛ ریاضی‌دانی علمی، اما نه یک نابغۀ مخترع. ارزش راه‌حلهای او یکسان نیست و در شماری از آنها باید پنجۀ شیری ناشناخته را شناسایی کرد (نیز نک : راشد و اوزه، 1-2).
بیشتر پژوهشگران بعدی آثار دیوفانتوس همچون هیث (ص 6) و فوگل (ص 111) دیدگاه تانری را پذیرفته و تکرار کرده‌اند، اما چنان‌که خواهد آمد، با پیداشدن 4 مقالۀ دیگر از اریثمتیکا که تنها روایت عربی آن در دست است، نه‌تنها نادرستی گمانهای پیشین دربارۀ شمار و ترتیب کتابهای برجای‌مانده به یونانی آشکار گردید، بلکه معلوم شد که اهمیت اریثمتیکا بیش از آن بوده است که تانری و دیگر پژوهشگران پیشین می‌پنداشته‌اند (نک : راشد، «آثار ... 1»، 98, 101). راشد به‌تفصیل در آثار خود دربارۀ اهمیت این بخش نویافته در شناخت مرتبۀ دیوفانتوس در ریاضیات بحث کرده است (نک : «آثار ... 2»، 3-30؛ نیز راشد و اوزه، 121-154, 265-368).
روایت عربی اریثمتیکا موسوم به صناعة الجبر
ابن‌ندیم هنگام یادکرد دیوفانتوس، به گزارشی بس کوتاه بسنده کرده است: «ذیوفنطس یونانی اسکندرانی، و از کتب او ست: کتاب صناعة الجبر» (ص 269). از این گزارش حتى نمی‌توان دریافت که مقصود ابن‌ندیم از صناعة الجبر همان اریثمتیکا ست یا کتابی دیگر؛ به‌ویژه ازآنروی که اریثمتیکا را نمی‌توان کتابی در جبر، بدان معنی که خوارزمی آن را پایه‌گذاری کرد، به شمار آورد (نک : دنبالۀ مقاله).
تنها اطلاعی که قفطی بر سخن ابن‌ندیم می‌افزاید، تصریح بر ترجمۀ کتاب است: «یونانی اسکندرانی، فاضلی است کامل، در زمان خود مشهور، و کتاب صناعة الجبر، از تصانیف وی، کتابی نامدار است. آن را به عربی نقل کرده‌اند و بنای عمل این صناعت بر آن است و هرکه در آن نظر کند، دریایی بیند در آن فن» (ص 184، نیز نک : ترجمه، 255). ابن‌ابی‌اصیبعه ضمن یادکرد احوال و آثار قسطا بن لوقا بعلبکی، از این کتاب چنین یاد کرده است: «کتاب فی ترجمة دیوفنطس فی الجبر و المقابلة» (1 / 245) و بدین ترتیب قسطا را مترجم کتاب دیوفانتوس به شمار آورده است، درحالیکه ابن‌ندیم (ص 295: «و له من الکتب سوى ما نقل و فسر و شرح ... ») و به پیروی از او قفطی (ص 262-263، نیز نک : ترجمه، 361-362) هنگام برشمردن آثار قسطا، به یادکرد آثار تألیفی او بسنده کرده‌اند. البته ابن‌ندیم (همانجا)، به‌رغم این تأکید، به اثری از قسطا با عنوان تفسیر ثلاث مقالات و نصف من کتاب دیوفنطس فی المسائل العددیة اشاره دارد که باید حاصل پژوهش قسطا در شماری از مقالات اریثمتیکا (اما کدام مقالات؟) باشد (نیز نک : ابن‌ابی‌اصیبعه، همانجا، که ترجمۀ صناعة الجبر و این تفسیر را در کنار یکدیگر و چونان دو اثر جداگانه یاد کرده است؛ قس: قفطی، همانجا، که اشاره‌ای به این اثر ندارد).
تا چندی پیش از ترجمه‌ای که با عنوان صناعة الجبر به قسطا ابن لوقا نسبت داده می‌شد، هیچ نشانی در دست نبود تا آنکه در 1350 ش / 1971 م، احمد گلچین معانی در فهرست کتابخانۀ آستان قدس رضوی دست‌نویسی از مقالات چهارم تا هفتم این ترجمه را شناساند (نک : آستان ... ، 8 / 235). این دست‌نویس 80برگی در 595 ق / 1199 م به دست محمد بن ابی‌بکر بن جاگیر منجم کتابت شده است (همانجا) و تاکنون کهن‌ترین دست‌نویس برجای‌مانده از آثار دیوفانتوس به شمار می‌آید؛ چه، کهن‌ترین دست‌نویس شناخته‌شدۀ اصل یونانی، در سدۀ 13 یا 14 م / 7 یا 8 ق کتابت شده است (هیث، 14 ff.؛ راشد، 9). به گمان راشد، نکتۀ بسیار شایان توجه از برگ‌شمار کهن این دست‌نویس به دست می‌آید، آنجا که در برگ 8 ر کنونی، برگ‌شمار 295 آمده است؛ درنتیجه باید گفت این نسخه دراصل 370 برگ داشته و چه‌بسا هر 7 مقالۀ اریثمتیکا در آن آمده بوده است. مقایسۀ کتاب الفخری کرجی با مقالات موجود ترجمۀ عربی و نیز متن یونانی 3 کتاب نخست مؤید این گمان است («آثار ... 1»، 103).
ازآنجاکه از میان 4 مقالۀ موجود ترجمۀ عربی، هیچ‌یک ترجمۀ کتابهای اول تا سوم متن یونانی نیستند و با توجه به بهره‌گیری چشمگیر کرجی از محتوای این 3 کتاب، پیدا ست که 3 مقالۀ گم‌شدۀ ترجمۀ عربی، ترجمۀ 3 کتاب نخست اصل یونانی بوده‌اند. همچنین با توجه به سبک دیوفانتوس در آغاز از مسائل آسان به دشوار پیدا ست که مقالات چهارم تا هفتم ترجمۀ عربی، پیش از آنچه که به کتاب چهارم اصل یونانی مشهور است، جای داشته‌اند و البته بعید است که میان کتاب سوم (موجود به یونانی) و مقالۀ چهارم (موجود به عربی) کتابی در کار بوده باشد. ازاین‌رو، می‌توان ترتیب کتابهای اریثمتیکا را چنین دانست: 1. کتابهای اول تا سوم، مشتمل بر کتاب اول تا سوم یونانی (و مقالات گم‌شدۀ ترجمۀ عربی)؛ 2. کتابهای چهارم تا هفتم، مشتمل بر مقالات چهارم تا هفتم نویافتۀ ترجمۀ عربی؛ 3. کتابهای هشتم تا سیزدهم، که از
این میان 3 کتاب که پیش‌تر کتابهای سوم تا ششم انگاشته می‌شد، به یونانی در دست است، اما معلوم نیست که این 3 کتاب کدام‌یک از کتابهای هشتم تا سیزدهم بوده‌اند (نک : راشد و اوزه، 4-5).