تضعیف مکعب
تَضْعیفِ مُکَعَّب، یکی از مسائل کهن هندسی که موضوع آن یافتن ضلع مکعبی است که حجم آن دو برابر مکعب مفروضی باشد. بنابر داستانی که پلوتارک (قرن 1م) نقل کرده است، خدایان از زبان غیب‌گویی به مردم دِلُس پیام فرستادند که اگر می‌خواهند از بلا برهند، باید قربانگاهی مکعب شکل را دو برابر کنند؛ و ایشان هم حل این مسئله را از افلاطون خواستند (کنور، 2). روایت پلوتارک نشان می‌دهد که این مسئله در زمان افلاطون تازه نبوده، زیرا او از پیش می‌دانسته است که حل آن به «درج دو واسطه در میان دو طول معلوم» منجر می‌شود.
به زبان جبری، اگر ضلع مکعبِ داده شده را a، و ضلع مکعب مطلوب را X فرض کنیم، مسئلۀ تضعیف مکعب معادل است با حل معادلۀ 2a3 = X3. برای یونانیان این مسئله یک مسئلۀ هندسیِ صرف بود و چون از همان آغاز از دشواری آن آگاه بودند، می‌کوشیدند تا از راه تحلیل (نک : ه د، تحلیل و ترکیب) آن را به یک مسئلۀ ساده‌تر تبدیل کنند. چون مسئلۀ تضعیف مربع، یعنی حل معادلۀ X2=2a2، به آسانی به درج یک واسطۀ هندسی میان دو طولِ a و 2a تبدیل می‌شود (یعنی به یافتن طول X به طوری که x/a=2a/x)، مسئلۀ تضعیف مکعب را نیز به مسئلۀ درج دو واسطه در میان طولهای a و 2a، یعنی به یافتن طولهای X و y به طوری که a/x=x/y=y/2a تبدیل کردند (همو، 24) و ظاهراً این کار را نخستین‌بار بقراط خیوسی، ریاضی‌دان قرن 5ق‌م انجام داد. اِراتُسْتِنِس، ریاضی‌دان قرن 3ق‌م هم راه حلی برای این مسئله به طریق مکانیکی یافته بوده، و حتى وسیله‌ای برای این کار ساخته بوده که «واسطه‌ساز» نام داشته است (همو، 17). اراتستنس روایت کرده است که 3 تن از ریاضی‌دانانی که در آکادمی افلاطون کار می‌کردند، راه حلهایی برای این مسئله یافته بودند: آرخوتاس به کمک نیم‌استوانه‌ها، ائودُکسوس به کمک خطوط منحنی، و مِنایخموس با استفاده از سه‌گانه‌هایی که از مخروط قطع شوند. اطوقیوس عسقلانی، ریاضی‌دان قرن 6م در شرح خود بر «دربارۀ استوانه و کرۀ» ارشمیدس، 11 روش را در حل این مسئله معرفی کرده است. در راه حل آرخوتاس، به صورتی که اطوقیوس آن را نقل کرده، مسئلۀ تضعیف مکعب به درج دو واسطه در میان دو طولِ داده شده، و آن نیز به یافتن نقطۀ تقاطع 3 جسم منجر می‌شود که عبارت‌اند از یک چنبره، یک مخروط و یک استوانه.
دربارۀ روش ائودکسوس در تضعیف مکعب، نوشتۀ اراتستنس بسیار ناقص است؛ و همین امر بحثهایی را در میان مورخان ریاضی دربارۀ ماهیت این روش برانگیخته است (همو، 52-57). کنور بر آن است که به احتمال قوی، این روش همان روش مکانیکی‌ای است که اطوقیوس به افلاطون نسبت داده است، اما امکان ندارد از خود افلاطون باشد؛ زیرا اولاً اراتستنس، با همۀ علاقه‌اش به فلسفۀ افلاطونی، آن را ذکر نکرده، ثانیاً این روش مکانیکی است، در حالی که افلاطون همواره بر سرشت انتزاعی هندسه اصرار می‌ورزیده، و هندسه‌دانان را از کاربرد این گونه روشها بر حذر می‌داشته است. به نظر کنور، این روش در آکادمی افلاطون و احتمالاً به دست ائودکسوس تکوین یافته است.
در سومین راه حلی که اراتستنس ذکر کرده است، یعنی روش منایخموس (قرن 4ق‌م)، دو واسطۀ X و Y میان طولهای A و B از راه تقاطع دو هذلولی، یعنی از راه حل دستگاه معادلاتِ
X2=AY
XY=AB
و یا از راه تقاطع دو سهمی، یعنی از راه حل دستگاهِ
X2=AY
Y2=BX
به دست می‌آیند (همو، 61). دیوکلس، ریاضی‌دان یونانی که تاریخ زندگی‌اش معلوم نیست (راشد، «مناظرنویسان...»، 3-10)، اما اثر او با عنوان «آینه‌های سوزان» ( فی المرایا المحرقة) از راه ترجمۀ عربی آن به دست ما رسیده است، 6 قضیۀ آخر کتاب خود را به ذکر دو روش برای تضعیف مکعب اختصاص داده است (همان، 127-141). روشهای دیوکلس در کتاب اطوقیوس هم نقل شده است. روش اول دیوکلس (همان، 82-87) اساساً همان روش منایخموس برای درج دو واسطه در میان دو طول با استفـاده از تقاطـع دو سهمـی است. اما روش دوم او ــ که در قضایای 11-16 بیان شده ــ روشی مکانیکی است که با وجود تازگیهایی که دارد در واقع ملهَم از همان روشی است که اطوقیوس به افلاطون نسبت داده است (کنور، 242).
ریاضی‌دانان دوران اسلامی از طریق شرح اطوقیوس بر «دربارۀ استوانه و کرۀ» ارشمیدس (نک : دنبالۀ مقاله) و نیز از راه رسالۀ «آینه‌های سوزان» دیوکلس با این مسئله آشنا بودند. غالب ریاضی‌دانان دوران اسلامی بی‌آنکه از مسئلۀ تضعیف مکعب سخنی به میان آورند، به حل مسئلۀ درج دو واسطه در میان دو طول معلوم پرداخته‌اند. نخستین راه حل شناخته شدۀ این مسئله در دوران اسلامی در کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریۀ بنی موسى (ه م) آمده است. بنی موسى نخست راه حل آرخوتاس را که پیش از این از آن سخن گفتیم ذکر می‌کنند، ولی آن را به منلائوس نسبت می‌دهند و می‌گویند: منلائوس آن را در «کتابی که در هندسه دارد»، آورده است (ص 117). به نظر راشد، این کتاب احتمالاً کتاب منلائوس به نام اصول الهندسة است که به گفتۀ ابن ندیم (ص 327) ثابت بن قره آن را به عربی ترجمه کرده بوده، و اصل و ترجمۀ آن اکنون از میان رفته است («ریاضیات...»، I/ 49). بنی موسى هرچند این روش را درست می‌دانند، ولی عملی کردن آن را محال یا دست‌کم بسیار دشوار می‌شمارند (ص 121) و به همین دلیل یک راه حل مکانیکی به دست می‌دهند.
اساس راه حل بنی موسى به این صورت است: فرض کنیم که A و B دو طول مفروض، و X و Y دو طول مطلوب باشند به طوری که داشته باشیم:
A:X=X:Y=Y:B
دو پاره خط عمود بر همِ DC و DE را در نظر می‌گیریم (شکل 1) به طوری که DC=A و DE=B. خطی که در E بر CE عمود شود، امتداد DC را در F قطع می‌کند و خطی که از نقطۀ C موازی با EF رسم شود، امتداد ED را در نقطۀ M قطع می‌کند. نقطۀ U را روی امتداد MC طوری انتخاب می‌کنیم که MU=EF. فرض می‌کنیم که دو خط MU و EF در عین حال که مقدار اصلی خود را حفظ می‌کنند، بدین‌صورت حرکت کنند: نقطۀ F روی DC به طرف D بلغزد؛ نقطۀ E ثابت بماند و خط EF حول آن بچرخد؛ در همان حال که MU با EF موازی می‌ماند نقطۀ M، روی ED ، در جهت دور شدن از D، حرکت کند؛ و MU حول نقطۀ C بچرخد و این حرکت تا وقتی ادامه یابد که خطی که در E بر EF عمود می‌شود، خط MU را در نقطۀ U قطع کند. اگر دو پاره خط در این حالت در وضعهای F1E1 و M1U1 باشند. با استفاده از قضیۀ فیثاغورس در مثلثهای قائم‌الزاویۀ CM1F1 و M1F1E نتیجه می‌گیریم که:
DC: M1D=M1D:DF1=DF1:DE
اما طبق فرض داریم DC=A و DE=B. بنابراین، DM1 و DF1 همان پاره‌خطهای مطلوب X و Y اند.
اندکی پس از بنی موسى، ثابت بن قرّه (ه م) در رساله‌ای به نام فی عمل الموسطین و قسمة زاویة معلومة بثلاثة اقسام متساویة، مسئلۀ تضعیف مکعب را با استفاده از مقاطع مخروطی حل می‌کند، ولی به جای استفاده از تقاطع دوسهمی و یا تقاطع یک‌سهمی و یک‌هذلولی، از تقاطع یک‌هذلولی و یک دایره استفاده می‌کند. روش او از این قرار است: فرض کنیم که در شکل 2، BA و BC دو پاره خط مفروض باشند. مستطیل ABCD را کامل می‌کنیم و از D یک هذلولی می‌گذرانیم که AB و BC مجانبهای آن باشند (امکان این کار و یگانگی این هذلولی در آغاز رسالۀ ثابت اثبات شده است). از 4 رأس مستطیل ABCD دایره‌ای می‌گذرانیم که هذلولی را در نقطۀ دومی به نام G قطع کند. هرگاه امتداد DG امتدادهای AB و BC را نقاط H و I قطع کند، AH و IC دو واسطۀ مطلوب میان طولهای مفروض BA و BC خواهند بود. اثبات با استفاده از قوت نقاط H و I نسبت به دایره و خواص هذلولی است (ص 559-563). همین راه حل در رساله‌ای از احمد بن عبدالجلیل سجزی (ه م) به نام «استخراج الموسطین و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة» (ص 391-393) و در رساله‌ای از ابوسهل کوهی با عنوان «فی استخراج خطین بین خطین حتى تتوالى الاربعة على نسبة و قسمة الزاویة بثلاثة اقسام متساویة» (ص 509-511) آمده است.
ابوجعفر خازن (ه م) در رساله‌ای به نام «قسمة الزاویة بثلاثة اقسام متساویة و استخراج خطین بین خطین تتوالى متناسبة»، روش ثابت بن قره را در تثلیث زاویه ذکر می‌کند (ص 581-583) و آن‌گاه می‌گوید: اگر در بند برهان آوردن نباشیم، می‌توانیم لبۀ خط‌کشی را در نقطۀ D قرار دهیم و آن را طوری حول این نقطه بچرخانیم که هذلولی را در نقطۀ دیگر G قطع کند به طوری که DH=GI باشد (ص 583). وی سپس به کتاب اطوقیوس اشاره می‌کند که در آن از 11 ریاضی‌دان سخن به میان آمده است که به مسئلۀ درج دو واسطه در میان دو خط پرداخته‌اند و «افلاطون فیلسوف» هم یکی از ایشان است؛ سپس می‌افزاید که «هر کس آن کتاب را از روی فهم بررسی کند...، درمی‌یابد که بیشتر ایشان این مسئله را به روش مکانیکی (بطریق الآلة) حل کرده‌اند و کسانی هم که از راه هندسی رفته‌اند، ناچار دست به دامن مقاطع مخروطی شده‌اند و در این کار راههای دور و درازی را پیموده‌اند» (همانجا).
عبارت ابوجعفر خازن نارضایی ریاضی‌دانان زمان او را از روشهای مکانیکی و پایبندی ایشان را به استفاده از مقاطع مخروطی برای حل مسائل «مجسم»، از جمله مسئلۀ تضعیف مکعب، نشان می‌دهد و نیز می‌رساند که این ریاضی‌دانان درصدد آن بوده‌اند که در کار استفاده از مقاطع مخروطی راه‌حلهای ساده‌تری بیابند. ابوجعفر خازن خود در رسالۀ دیگری به نام «فی استخراج خطین بین خطین تتوالى متناسبة من طریق الهندسة الثابتة» نخست راه حل نیکومدس (نیقومیذس) را از کتاب اطوقیوس نقل می‌کند. این راه حل از این قرار است: می‌خواهیم میان دو طول AB و BC دو واسطه درج کنیم. در شکل 3 AB و BC دو طول مفروض‌اند و ABCD مستطیل است. نقطه‌های E و G را طوری اختیار می‌کنیم که EA=EB و GB=GC. نقطۀ H محل تلاقی DE با BC است. GI را به طول EB بر BC عمود می‌کنیم و از G نیم‌خط GK را موازی با HI رسم می‌کنیم. از I خط OI را طوری رسم می‌کنیم که بخشی از آن که بین خطهای GK و BC قرار می‌گیرد، مساوی IC باشد (یعنی OP=IC). راه حل نیکومدس یک مسئلۀ «میل» است و عملاً باید خطی را حول نقطۀ I دوران دهیم تا OP=IC شود.
اما خازن که از این راه حل راضی نیست، طول OP را با استفاده از مقاطع مخروطی به دست می‌آورد. برای این منظور IK را موازی با BC رسم می‌کند تا GK را در نقطۀ K قطع کند و هذلولی‌ای رسم می‌کند که از نقطۀ K بگذرد و HI و BC مجانبهای آن باشند. به این طریق، مسئله به یافتن نقطۀ تقاطع این هذلولی با دایره‌ای به مرکز K و شعاع CI منجر می‌شود (ص 587-591).
پس از قرن 5م کمتر ریاضی‌دانی در جهان اسلام به مسئلۀ تضعیف مکعب پرداخته است و دلیل آن نیز تحولاتی است که از دو جهت در ریاضیات این دوران رخ داده بود:
1. با پیدایش و توسعۀ علم جبر، ترجمۀ مسائل گوناگون هندسی به زبان جبری امکان‌پذیر شد. در واقع طبقه‌بندی خیام از معادلات جبری درجۀ سوم در رسالۀ جبر و مقابله، نه تنها راه حل همۀ مسائل مجسمی را که تا آن زمان شناخته شده بود، به دست می‌داد، بلکه از آن پس، هر مسئلۀ مجسم جدیدی به یک معادلۀ درجۀ سوم که خیام راه حل آن را با استفاده از مقاطع مخروطی به دست داده بود، تبدیل می‌شد. به این ترتیب، مسئلۀ تضعیف مکعب امتیاز خود را از دست داد. در رسالۀ جبر و مقابلۀ خیام، معادلۀ 3a=3x ساده‌ترین معادلۀ جبری است و خیام دربارۀ آن می‌گوید: تنها راه عددی استخراج ریشۀ آن «استقراء» (یعنی جست و جوی تقریبی ریشه) است، و از لحاظ هندسی هم جز از راه مقاطع مخروطی حل نمی‌شود (همو، 125). حل هندسیِ این مسئله هم با کمک دو مقدمه که یکی همان «درج دو واسطه در میان دو خط» است، امکان‌پذیر می‌شود (همو، 153-161).
2. با توسعۀ روشهای عددی ــ که آن هم با گسترش علم جبر ارتباط داشت ــ استخراج ریشۀ سوم یک عدد که به نظر ثابت ابن قره یکی از فواید مسئلۀ درج دو طول در میان دو طول مفروض است، با مسئلۀ استخراج ریشۀ n ام یک عدد پیوند خـورد. با ایـن حـال، در قـرون بعد نیـز، در پاره‌ای از متون، و از جمله در رساله‌ای از تقی‌الدین ابن معروف راصد (قرن 10ق) به روشهای مکانیکـی تضعیف مکعب اشاره شـده است (تِکِلی، 138-139).
مآخذ
ابن ندیم، الفهرست؛ ابوجعفر خازن، محمد، «فی استخراج خطین بین خطین تتوالى متناسبة من طریق الهندسة الثابتة»، «هندسه و علم شکست نور...»؛ همو، «قسمت الزاویة بثلاثة اقسام متساویة و استخراج خطین بین خطین تتوالى متناسبة»، همان؛ بنی موسى «معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة»، «ریاضیات بی نهایت کوچکها...»، ج I (نک : مل ، راشد)؛ ثابت بن قره، «فی عمل الموسطین و قسمة زاویة معلومة بثلاثة اقسام متساویة»، «هندسه و علم شکست نور...» (نک : مل ، راشد)؛ خیام، «جبر و مقابله»، «خیام ریاضی‌دان» (نک : مل ، راشد و وهاب‌زاده)؛ سجزی، احمد، «استخراج الموسطین و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة بطریق الهندسة»، «آثار ریاضی سجزی» (نک : مل ، راشد)؛ کوهی، بیژن، «فی استخراج خطین بین خطین حتى تتوالى الاربعة على نسبة و قسمة الزاویة بثلاثة اقسام متساویة»، «هندسه و علم شکست نور...» (نک : مل ، راشد)؛ نیز: