برهان عکس نقیض
در ریاضیات، برهان عکس نقیض (به انگلیسی: Proof by contrapositive) یک قاعدهٔ استنتاج است که در اثباتهای ریاضی استفاده میشود، که در آن گزارهٔ شرطی از عکس نقیض آن استنباط میشود. یک گزاره و عکس نقیض آن، از نظر منطقی همارز هستند، به این معنا که اگر گزاره درست باشد، عکس نقیض آن نیز درست است و بالعکس. به عبارت دیگر، در برهان عکس نقیض، نتیجهٔ «اگر
بهطور منطقی، اعتبار برهان عکس نقیض را میتوان با استفاده از جدول ارزش زیر نشان داد، که در آن نشان داده شدهاست که
د | د | ن | ن | د | د |
د | ن | ن | د | ن | ن |
ن | د | د | ن | د | د |
ن | ن | د | د | د | د |
تفاوت با برهان خلف
برهان خلف: فرض کنید
برهان عکس نقیض: برای اثبات درستی
مثال
فرض کنید
- برای اثبات: اگر زوج باشد،زوج است.
اگر چه میتوان آن را بهروش اثبات مستقیم اثبات کرد، اما برای اثبات این گزاره، از برهان عکس نقیض استفاده میکنیم. عکس نقیض گزارهٔ بالا، گزارهٔ زیر است:
- اگر زوج نباشد،زوج نیست.
این گزارهٔ دوم بهاین شکل میتواند اثبات شود:
پس از اثبات درستی عکس نقیض گزاره، میتوانیم نتیجه بگیریم که گزارهٔ اصلی نیز درست است.
جستارهای وابسته
- عکس نقیض
- نفی تالی
- تعلیق به محال
- برهان خلف: رابطه با سایر تکنیکهای اثبات.
منابع
- ↑ Cusick, Larry. "Proofs by Contrapositive". zimmer.csufresno.edu. Retrieved 2019-10-26.
- ↑ Sheldon, Frederick. "Conditional Statement Forms". www.csm.ornl.gov. Retrieved 2019-10-26.